作者:i_dovelemon

来源:CSDN

日期:2014 / 9 / 30

主题:View Frustum, Plane, View Matrix, Perspective Projection Matrix

引言

在3D图形学中，一种优化的手法，叫做物体剔除(Object Culling)。这种技术的提出是基于这样的策略：我们不希望将不存在View Frustum里面的物体送往流水线中进行处理。虽然，你可能会说，现在的图形卡都已近支持了三角形剔除的技术。但是，不要忘了流水线的步骤。我们是先进行Vertex Processing，然后才进行Geometry Processing。而图形卡对三角形的剔除是在Geometry
Processing这个阶段进行的。也就是说，即使能够剔除它们，我们依然要在Vertex Processing中对这些将来需要丢弃的顶点进行Vertex Processing处理。而我们知道，Vertex Processing这个阶段往往会进行坐标变换，光照计算等等费时的操作。所以，如果能够在Vertex Processing之前，也就是在Application阶段，在我们的CPU中将这些根本不需要处理的物体剔除的话，会大大的提高程序的效率。而想要将物体剔除，我们就需要知道这个物体是否在View Frustum中。而为了判断这个条件，我们就需要确定构成View
Frustum的6个平面的方程。所以，本篇文章，就向大家讲述，如何获取View Frustum的6个平面方程。

推理过程

想要获取View Frustum的6个面的方程，那么我们就需要知道，我们是怎么定义View Frustum的。在我的博客栏目中，有一篇文章基本3D变换。在这篇文章中，我们知道，我们使用NearZ， FarZ, Fov和Aspect这几个值来定义了View
Frustum。而这些值都保存在Projection Matrix中。所以，突破口就在这个Projection Matrix里面。

我们来回顾下上面的文章。基本3D变换这篇文章中讲述了基本的3D变换之World Transform, View Transform和Projection Transform。并且费了很大的篇幅证明了Projection Matrix的作用以及它的推导过程。从中我们知道，Projection
Matrix的作用是将View Frustum中的顶点，变换到一个Cubic空间中去。这个空间的X的范围为[-1,1],Y轴的范围为[-1,1]，Z轴的范围为[0,1]。那么，也就是说，原来View Frustum的6个平面，在经过了变换之后，变成了Cubic的6个面。那么，我们能否通过这6个面，来获取还原原来的View Frustum的6个面了。答案是肯定的。但是我们并不是直接获取到6个平面的方程，而是使用一种等价的方式推导出这6个面的。下面我们来看下。

我们知道，在世界坐标空间View Frustum中的一个点S，经过了M = ViewMatrix * ProjMatrix变换之后，就变换到了Cubic的空间中去了。所以，我们可以得到如下的结论：

T = S * M   (1)

变换后的T是一个齐次坐标，它的w分量不再是1,我们来看下T.w到底等于什么。

在世界坐标空间中，顶点的w值都为1。所以与View Matrix相乘之后，它的w变成了 ：

w‘ = [x,y,z,w] * [ViewM.03, ViewM.13, ViewM.23, ViewM.33] = [x,y,z,w] * [0, 0, 0, 1] = w = 1 (2)

再与Proj Matrix相乘之后，w‘变成了：

w‘‘ = [x‘,y‘,z‘,w‘] * [ProjM.03, ProjM.13, ProjM.23, ProjM.33] = [x, y, z , w‘] * [ 0, 0, 1, 0] = z‘ (3)

也就是说，顶点在经过了View Transform 和 Projection Transform之后，它的w分量变成了顶点在相机空间中的z值。

我们将T化成U，其中U.w = 1。而现在的U就处在Cubic空间中。我们知道Cubic空间的X范围为[-1,1]，那么就是说：

-1 <= U.x <= T.x / T.w (4)

通过公式(3)，我们知道T.w = z‘，即等于在相机空间中的z值。而View Frustum中的顶点在相机坐标空间中的z值都是大于0的。所以又可以得到如下的公式：

T.x + T.w >= 0 (5)

通过公式(1)，我们可以知道如下：

T.x = S * Mcol0 , T.w = S * Mcol3 (6)

将公式(6)带入公式(5)，得到如下:

S*Mcol0 + S*Mcol3 >= 0  ==>  S * (Mcol0 + Mcol3) >= 0 (7)

由于Mcol0和Mcol3都是一个向量，他们的和也可以用一个向量N来表示，所以就变成了

S * N >= 0  ==> S.x * N.x + S.y * N.y + S.z * N.z + S.w * N.w >= 0 ==> S.x*N.x + S.y*N.y + S.z*N.z + N.w >= 0 (8)

我们来回想下，在DirectX中，平面是如何保存的。在DirectX中，D3DXPLANE中有两个属性来唯一确定。它们分别是平面的法向向量N‘，以及原点到这个平面的有向距离d来表示。如果一个点S’在平面的正半空间中，那么我们将这个点带入到DirectX的平面方程中:

S‘ * N‘ + d > 0 ==> S‘.x*N‘.x + S‘.y*N‘.y + S‘.z*N‘.z + d >= 0 (9)

读者自己比对下公式(8)和公式(9)，就会发现，它们是惊人的相似。只不过这里的d，变成了N.w而已。所以，我们完全可以将公式(8)中的N和N.w抽取出来，作为D3DXPLNE中的N和d，来构成一个平面。而这个平面就是View Frustum的Left平面。在上面，我们已经假设了U.x>=-1，也就是说，这里的情况下，得到的Left平面，它的法向向量是指向View Frustum里面的。如果想要指向外面只要将公式(8)中的N反向即可。

同样的方法，我们可以推导出其他几个面的方程。

总结

通过上面的推导，我们就可以得到如下的结论：

Left平面: 0 =( Mcol3 + Mcol0) * [x,y,z,w]

Right平面: 0 = (Mcol3 - Mcol0) * [x,y,z,w]

NearZ平面: 0 = Mcol2 * [x,y,z,w]

FarZ平面: 0 = (Mcol3 - Mcol2) * [x,y,z,w]

Top平面: 0 = (Mcol3 - Mcol1) * [x,y,z,w]

Bottom平面:  0 = (Mcol3 + Mcol1) * [x,y,z,w]

不过注意，上面的平面都是没有进行归一化的平面。使用的时候，最好使用D3DXNormalizePlane进行归一化操作。

好了，今天就到这里。下一篇文章，会向大家讲述，如何进行检测，判断物体是否在View Frustum外部。