这是我自己写的一份简短的李代数讲义，内容基本相当于 Humphreys 的教材 "Introduction to Lie algebras and Representation theory" 第 6 章，目的是介绍复半单李代数的表示理论。我会省略一些纯技术的细节（它们通常都比较简单），同时着重写我觉得晦涩的部分。
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Verma 模
设 $\lambda\in\mathfrak{h}^\ast$，非常有趣的事情是，在所有以 $\lambda$ 为最高权的模中，既有一个最小的，也有一个最大的：
(1). 最小的模 （记作 $L_\lambda$）是一个不可约模，它是所有最高权模的商模（所有最高权模之子）。在同构的意义下，这个不可约模是唯一的。
你还记得怎么证明吗？（见 Humphereys 书 20.2 节）
(2). 最大的模（记作 $M_\lambda$）自然可以称为 "所有最高权模之母"：其它所有最高权模都是它的商模。$M_\lambda$ 就是我们要说的 Verma 模，它在同构的意义下也是唯一的。
这节的目的是介绍 Verma 模：
定义：称一个最高权模 $M_\lambda$ 为 Verma 模，如果任何最高权为 $\lambda$ 的模都是它的商模。
我个人比较喜欢这个定义，第一它点明了 Verma 的本质是它的泛性质，第二它只有一句话。
不过从这个定义看不出来 Verma 是否存在，存在的话又是否唯一，下面来处理这两个问题。
首先我们的定义蕴含了 Verma 模的唯一性。设 $M_\lambda,N_\lambda$ 是任何两个 Verma 模，则它们互为彼此的商模。不妨设 $M_\lambda / W\cong N_\lambda$，这里 $W$ 是 $M_\lambda$ 的子模，于是对任何权 $\mu$，\[ \dim [M_\lambda]_\mu \geq\dim [N_\lambda]_\mu.\]然而 $N_\lambda$ 也是 $M_\lambda$ 的商模，所以反向不等式也成立，从而上式其实是个等式，因此 $M_\lambda$ 和 $N_\lambda$ 是同构的。
存在性是这样的：定义 Borel 子代数 $\mathfrak{b}$ 在一维向量空间 $\mathbb{C}$ 上的表示为
\[\mathfrak{n}^+\cdot z=0,\quad h\cdot z=\lambda(h)z,\quad \forall z\in\mathbb{C}.\]
这就定义了一个一维的 $U(\mathfrak{b})-$ 模 $\mathbb{C}$。然后定义\[V_\lambda = U(\mathfrak{g})\otimes_{U(\mathfrak{b})}\mathbb{C},\]则 $V_\lambda$ 即为满足要求的 Verma 模。（为什么？回忆一下利用张量积构造诱导表示的泛性质。）
注意 $V_\lambda$ 看做 $U(\mathfrak{n^-})$ 上的模的话是一个秩为 1 的自由模，即同构于 $U(\mathfrak{n}^-)$ 上的左正则表示。（这又是为什么？根据 PBW 定理，$U(\mathfrak{g})$ 作为左 $U(\mathfrak{n^-})$ 模可以写成 $U(\mathfrak{n^-})\otimes_{\mathbb{C}} U(\mathfrak{b})$，然后利用张量积的结合性）
换句话说，Verma 模是使得 $U(\mathfrak{n}^-)$ 的作用 "最自由" 的最高权模。
Casimir 算子
Casimir 算子并不是李代数 $\mathfrak{g}$ 中的元素，它其实是泛包络代数 $U(\mathfrak{g})$ 中的元素，而且是这个结合代数的中心元，它与 $\mathfrak{g}$ 的任何表示可交换，从而 Casimir 算子的特征子空间分解给出表示的分解。
回忆 Casimir 算子的定义：
设 $e_\alpha\in\mathfrak{g}_\alpha,f_\alpha\in\mathfrak{g}_{-\alpha}$ 满足 $(e_\alpha,f_\alpha)=1$，则 $[e_\alpha,f_\alpha]=H_\alpha$，这里 $H_\alpha$ 是在 Killing 型下与 $\alpha$ 对等的元素（即对任何 $h\in\mathfrak{h}$ 有 $\alpha(h)=(H_\alpha,h)$）。设单根系 $\Delta=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$，则 $H_1,\ldots,H_n$ 构成 $\mathfrak{h}$ 的一组基。设 $H_i$ 在 Killing 型下的对偶元为 $H_i^\ast$。
Casimir 算子的定义为
\[\Omega = \sum_{\alpha\in\Phi_+} (e_\alpha f_\alpha +f_\alpha e_\alpha)+\sum_{i=1}^n H_iH^\ast_i.\]
利用 $e_\alpha f_\alpha=H_\alpha+f_\alpha e_\alpha$，可得
\[\Omega=2\sum_{\alpha\in\Phi_+}f_\alpha e_\alpha+\sum_{\alpha\in\Phi_+}H_\alpha+\sum_{i=1}^nH_iH^\ast_i.\]
注意 Casimir 算子其实是与基无关的，这里选取一组特殊的基是为了计算方便。
易见 $\Omega\cdot v_\lambda$ 仍然是一个最高权为 $\lambda$ 的向量，因此它必然是 $v_\lambda$ 的一个倍数，即
\[\Omega\cdot v_\lambda=c_\lambda v_\lambda.\]
我们来计算这个 $c_\lambda$。
利用 $e_\alpha\cdot v_\lambda=0$ 以及 $\lambda(H_\alpha)=(\lambda,\alpha)$ 可得
\[c_\lambda=\sum_{\alpha\in\Phi_+}(\alpha,\lambda)+\sum_{i=1}^n\lambda(H_i)\lambda(H^\ast_i)=2(\lambda,\rho)+(\lambda,\lambda)=|\lambda+\rho|^2-|\rho|^2.\]
其中倒数第二个等号是利用了一个非常简单的纯线性代数的结论：
设 $\{x_i\}$ 是内积空间 $(\cdot)$ 的一组基，$\{y_j\}$ 是 $\{x_i\}$ 在这个内积下的对偶基， 则对任何向量 $x$ 有\[(x,x)=\sum_{i=1}^n(x,x_i)(x,y_i).\]
这个计算对任何最高权模都适用，这样我们就得到一个重要的结论：Casimir 算子作用在任何最高权模上（最高权为 $\lambda$）是一个数乘 $|\lambda+\rho|^2-|\rho|^2$。
何时 $L_\lambda$ 是有限维？
定理 1：不可约模 $L_\lambda$ 是有限维的，当且仅当 $\lambda$ 是支配整权，即对任何正根 $\alpha$ 有 \[\langle\lambda,\alpha\rangle=\frac{2(\lambda,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\in\mathbb{Z}_{\geq0}.\]
显然这个结论等价于对任何单根 $\alpha_i$ 有 $\langle\lambda,\alpha_i\rangle\in\mathbb{Z}_{\geq0}$。
定理的必要性是很简单的（just $\mathfrak{sl}_2$ 的表示），这里就不写了，棘手的部分在于充分性，需要挺长的一段证明。
第一步，我们来定义 "局部幂零" 的线性变换。设 $T$ 是向量空间 $V$ 上的线性变换，$T$ 称作局部幂零的，如果对任何 $v\in V$ 都存在正整数 $m$ 使得 $T^m v=0$。
注意这里的整数 $m$ 可以依赖于 $v$，所以即使 $T$ 不是幂零的（即不存在整数 $n$ 使得 $T^n=0$），但它可以是局部幂零的。
第二步，我们来定义 $\mathfrak{g}$ 的 "可积" 表示（integrable representation）。一个 $\mathfrak{g}-$ 模 $V$ 称作是 $\mathfrak{g}$ 的可积表示，如果它是一个权模，而且每个 $e_i,f_i$ 作用在 $V$ 上是局部幂零的。
可积表示的意义在于， 对 $\forall v\in V$ 和 $\forall1\leq i\leq n$，用 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_i=\{e_i,f_i,h_i\}$ 反复作用在 $v$ 上，得到是一个有限维的 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_i-$ 模，即\[\dim U(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_i)v<\infty.\]
第三步，这是辅助的一步，设 $V$ 是 $\mathfrak{g}$ 的任一表示，定义
\[V^{\rm int}=\{v\in V \ |\ \forall 1\leq i\leq n,\ \dim U(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_iv<\infty\}\subset V.\]
即对任何 $v\in V^{\rm int}$，$e_i,f_i$ 作用在 $v$ 上都是幂零的。
我们来证明 $V^{\rm int}$ 是 $V$ 的一个子表示。
设 $v\in V^{\rm int}$，固定 $1\leq i\leq n$，记 $W$ 为 $v$ 生成的 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_i$ 子模，则 $W$ 作为向量空间是有限维的。考虑向量空间 $\mathfrak{g}\cdot W$，由所有形如 $a\cdot w$ 的向量生成。其中 $a\in\mathfrak{g}$，$w\in W$。显然 $\mathfrak{g}\cdot W$ 也是有限维的。很容易验证 $\mathfrak{g}\cdot W$ 在 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_i$ 的作用下保持不动：对任何 $x\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_i$ 有
\[ x\cdot \mathfrak{g}\cdot W =[x,\mathfrak{g}]\cdot W+\mathfrak{g}\cdot x\cdot W\subset \mathfrak{g}\cdot W.\]
（为什么不是对所有 $x\in\mathfrak{g}$ 成立？注意 $\mathfrak{g}\cdot x$ 一般不再是 $\mathfrak{g}$ 中的元素）
这说明 $v$ 在任何 $a\in\mathfrak{g}$ 作用下的结果 $a\cdot v$ 都属于一个有限维的 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_i-$ 模 $\mathfrak{g}W$ 从而属于 $V^{\rm int}$，即 $V^{\rm int}$ 确实是一个子表示。
第四步，我们来验证当 $\lambda$ 是控制整权时，$L_\lambda$ 是一个可积表示。这貌似很容易：既然 $L^{\rm int}_\lambda$ 是 $L_\lambda$ 的子表示而 $L_\lambda$ 是不可约的，自然有 $L^{\rm int}_\lambda=L_\lambda$，对吗？注意还必须说明 $L^{\rm int}_\lambda\ne\{0\}$！所以你必须找到一个非零向量 $v$，使得每个 $e_i,f_i$ 作用在 $v$ 上是局部幂零的。这个向量很明显的摆在那： 最高权向量 $v_\lambda$ 就可以（Humphreys 书 21.2 节），因此 $L^{\rm int}_\lambda\ne\{0\}$，从而 $L_\lambda$ 确实是可积表示。
最后一步，我们证明若 $L_\lambda$ 是可积表示则必然是有限维的：既然每个 $e_i,f_i$ 作用在 $L_\lambda$ 上都是局部幂零的，从而算子
\[ \tau =\text{exp}(e_i)\text{exp}(-f_i)\text{exp}(e_i)\]
定义合理且是 $V$ 上的可逆线性变换。而 $\tau$ 置换 $L_\lambda$ 的权空间，把权为 $\mu$ 的权空间同构地映射为权为 $s_i(\mu)=\mu-\langle\mu,\alpha_i\rangle\alpha_i$ 的权空间，因此 $V$ 的权在反射 $s_i$ 下不变，从而在整个 Weyl 群 $W$ 作用下不变。
（关于这一点，见 Humphreys 书 2.3 节和 7.2 节）
这样一来 $L_\lambda$ 的权在 $W$ 的作用下分成了若干轨道（显然每个轨道长度有限，因为 $W$ 是有限群），其实轨道的个数也是有限的：因为对任何 $\mu\in\mathfrak{h}^\ast$，都存在唯一的一个 $w\in W$ 使得 $w\cdot\mu\in P_+$，即每个轨道可以选取唯一的一个支配整权作为代表元。而满足 $\mu\preceq\lambda$ 的支配整权个数是有限的，所以 $L_\lambda$ 只有有限多个权空间，从而必然是有限维的。
权模的特征
设 $V$ 是权模，$V=\oplus_{\lambda\in\mathfrak{h}^\ast}V_\lambda$，定义一个形式幂级数
\[ \mathrm{ch} V = \sum_{\lambda} (\dim V_\lambda) e^\lambda.\]$\mathrm{ch} V$ 叫做 $V$ 的特征，这里 $e^\lambda$ 是一个形式的符号，满足运算规律 $e^\lambda\cdot e^\mu=e^{\lambda+\mu}$。
（你可能会怀疑这样的形式符号到底是什么，是否存在。其实很简单，考虑一个群 $G$，作为集合 $G$ 与 $\mathfrak{h}^\ast$ 是一样的，但是元素的运算写成乘法的形式，与 $\lambda$ 对应的元素写作 $e^\lambda$，于是权模的特征就是群 $G$ 的元素的 "整系数线性组合"）
这里模的特征通常是一个无穷项组合，是一个纯粹的形式的记法，不存在收敛到某个值的说法。最好把 $V$ 的特征看做是一个从 $\mathfrak{h}^\ast$ 到 $\mathbb{Z}$ 的函数 $f$：$f(\lambda)=\dim V_\lambda$。$\mathrm{Ch}V$ 就像一根 "晾衣绳"，我们用群 $G$ 的元素作为衣架把它们一个个挂在这个绳子上。
记 $\mathfrak{h}^\ast$ 上的全体特征集合为 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}^\ast]$。
有了这些理解，我们来定义特征的运算。
加法是很显然的，就定义为函数的逐点加法：设
\[\mathrm{Ch}V=\sum_{\lambda}a_\lambda e^\lambda,\quad\mathrm{Ch}W=\sum_{\lambda}b_\lambda e^\lambda,\]则\[\mathrm{Ch}(V\oplus W)=\mathrm{Ch}V+\mathrm{Ch}W=\sum_{\lambda}(a_\lambda+b_\lambda)e^\lambda.\]
但是特征的乘法呢？这个定义就要很小心了。你可能会觉得，乘法就定义为函数的逐点乘法呗：
\[\mathrm{Ch}V\ast\mathrm{Ch}W=\sum_{\lambda}(a_\lambda\cdot b_\lambda)e^\lambda.\]
注意这里的乘法并不是通常的数的乘法，而是形式符号的某种运算，故用 $\ast$ 表示。
这样定义当然没有运算上的问题，但是却不是我们想要的定义：我们希望对两个模的张量积 $V\otimes W$ 有
\[\mathrm{Ch}(V\otimes W)=\mathrm{Ch}V\ast\mathrm{Ch}W.\]
但是我们知道（设 $V=\oplus_\mu V_\mu, W=\oplus_\nu W_\nu$）
\[ V\otimes W=\bigoplus_{\lambda} \bigoplus_{\mu+\nu=\lambda}V_\mu\otimes W_\nu.\]
而每个 $V_\mu\otimes W_\nu$ 是权为 $\mu+\nu$ 的权子空间，因此这就迫使我们定义
\[\mathrm{Ch}(V\otimes W)=\sum_{\lambda}(\sum_{\mu+\nu=\lambda}a_\mu b_\nu )e^\lambda.\]
这下新的问题又冒出来了：$\sum\limits_{\mu+\nu=\lambda}a_\mu b_\nu$ 一般是个无穷和，收敛的问题怎么办？所以对所有 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}^\ast]$ 元素都定义乘法的目标是不现实的，我们必须把乘法局限在 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}^\ast]$ 的一个子集上：设 $D(\lambda)=\{\mu\in\mathfrak{b}^\ast: \mu\preceq\lambda\}$，集合 $D(\lambda)$ 叫做一个锥。定义 $\widetilde{\mathbb{C}[\mathfrak{h}^\ast]}$ 为满足如下条件的权模 $V$ 的集合：$V$ 的权属于有限多个锥 $D(\lambda_1),\ldots,D(\lambda_k)$ 的并。这时内层的求和号只有有限多项，从而$\widetilde{\mathbb{C}[\mathfrak{h}^\ast]}$ 中的元素的乘法是有意义的，这个乘法又叫做 "卷积"（类比分析中的卷积）。
Verma 模是 Notherian 和 Artinian 的
定理：Verma 模 $V_\lambda$ 有有限长度的合成列
\[(0)\subset V_1\subset\cdots\subset V_m=V_\lambda.\]
每个合成因子 $L_\mu$ 都是不可约最高权模，其中 $\mu$ 满足 $\mu\preceq\lambda$ 和 $|\mu+\rho|=|\lambda+\rho|$。
证明：首先考虑集合\[ S(\lambda) = \{\mu\ |\ \mu\preceq\lambda,\ |\mu+\rho|=|\lambda+\rho|\}.\]这是一个球面（有界集合）与一个离散子集的交，因此是一个有限集。记 $S(\lambda)=\{\mu_1,\ldots,\mu_m\}$。
其次我们来定义奇异向量的概念，它是最高权向量的推广。设 $U$ 是任一 $\mathfrak{g}$ 的权模，称一个权向量 $u\in U$ （权值为 $\mu$）是奇异向量，如果它满足 $\mathfrak{n}^+\cdot u=0$。显然 $u$ 可以生成一个最高权为 $\mu$ 的最高权子模。
我们来证明在一个最高权为 $\lambda$ 的最高权模 $M_\lambda$ 中，奇异向量的权值都是 $S(\lambda)$ 中的元素，从而只有有限多种可能。这是因为如果 $u$ 是权为 $\mu$ 的奇异向量，考虑 Casimir 算子在 $u$ 上的作用：在 $M_\lambda$ 中去看，这个作用是数乘 $|\lambda+\rho|^2-|\rho|^2$；在 $u$ 生成的最高权模 $M_\mu$ 中去看，这个作用是数乘 $|\mu+\rho|^2-|\rho|^2$，因此二者相等，即 $\mu$ 必须满足 $|\mu+\rho|=|\lambda+\rho|$。当然 $\mu$ 也显然满足 $\mu\preceq\lambda$，因此 $\mu\in S(\lambda)$。
现在我们可以证明 Verma 模 $V_\lambda$ 的合成列长度有限了：选取一个奇异向量 $u_1$，使得其权值 $\mu$ 在偏序 $\preceq$ 下是 $S(\lambda)$ 中最小的（由于 $S(\lambda)$ 是有限集，这是可以办到的），则 $u_1$ 必然生成一个不可约的最高权模 $L_\mu=V_1$（想一想，为什么？很直观的事实）。如果 $V_1\ne V_\lambda$，考虑 $V_\lambda/V_1$，同样地在它里面取一个极小权的奇异向量 $u_2+V_1$，我们得到 $V_\lambda/V_1$ 的一个不可约子模，将其提升为 $V_\lambda$ 的子模 $V_2\supset V_1$，这样一直重复此步骤则我们有\[(0)\subset V_1\subset V_2\subset \cdots.\]这个过程一定会终止，这是因为 $\{u_1,u_2,\ldots,\}$ 是线性无关的（非常简单的商空间的事实），而且它们的权值都属于 $S(\lambda)$（Casimir 算子作用在子模的商模上仍然是同样的数乘 ），因此它们是有限维子空间 \[[V_\lambda]_{\mu_1}\oplus\cdots\oplus [V_\lambda]_{\mu_m}\]中的线性无关向量，显然只有有限多个。