UVAL 11806 Cheerleaders 容斥原理

1.题意描述

本题大致意思是讲:给定一个广场,把它分为M行N列的正方形小框。现在给定有K个拉拉队员,每一个拉拉队员需要站在小框内进行表演。但是表演过程中有如下要求:

(1)每一个小框只能站立一个拉拉队员;

(2)广场的第一行,最后一行,第一列,最后一列都至少站有一个拉拉队员;

(3)站在广场的四个角落的拉拉队员可以认为是同时占据了一行和一列。

2.思路:

本题如果直接枚举的话难度很大并且会无从下手。那么我们是否可以采取逆向思考的方法来解决问题呢?我们可以用总的情况把不符合要求的减掉就行了。

首先我们如果不考虑任何约束条件,我们可以得出如下结论:

下载我们假定第一行不站拉拉队员的所有的站立方法有A种。最后一行不站拉拉队员的所有的方法有B种。第一列不站拉拉队员的所有的站立方法有C种。最后一列不站拉拉队员的站立方法有D种。

下面我们可以得出最后结果:

四种元素,一共有十六种状态,用0~15来枚举每一种状态。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define M 1000007
#define ma 505
int a[ma][ma];
void zuhe()/

{
    memset(a,0,sizeof(a));
    a[0][0]=1;
    for(int i=1;i<ma;i++)
    {
        a[i][0]=a[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            a[i][j]=(a[i-1][j-1]+a[i-1][j])%M;
    }
}
int main()
{
    zuhe();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int g=1;g<=t;g++)
    {
       int n,m,k;
        int sum=0;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        for(int i=0;i<16;i++)
        {
            int r=n,c=m,b=0;
            if(i&1) {r--;b++;}
            if(i&2) {r--;b++;}
            if(i&4) {c--;b++;}
            if(i&8) {c--;b++;}
            if(b&1) sum=(sum+M-a[r*c][k])%M;//奇数个元素
            else sum=(sum+a[r*c][k])%M;
        }
        printf("Case %d: %d\n",g,sum);

    }
    return 0;
}
时间: 2024-11-08 21:30:32

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对容斥原理的描述 容斥原理是一种重要的组合数学方法,可以让你求解任意大小的集合,或者计算复合事件的概率. 描述 容斥原理可以描述如下: 要计算几个集合并集的大小,我们要先将所有单个集合的大小计算出来,然后减去所有两个集合相交的部分,再加回所有三个集合相交的部分,再减去所有四个集合相交的部分,依此类推,一直计算到所有集合相交的部分. 关于集合的原理公式 上述描述的公式形式可以表示如下:                  它可以写得更简洁一些,我们将B作为所有Ai的集合,那么容斥原理就变成了: 这个