Noip2007矩阵取数游戏题解

• 题目描述 Description

  【问题描述】

  帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n?m的矩阵，矩阵中的每个元素ai,j均

  为非负整数。游戏规则如下：

  1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；
  2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
  3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分=被取走的元素值?2i，

     其中i表示第i 次取数（从1 开始编号）；

  4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。

     帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

• 输入描述 Input Description

  第1行为两个用空格隔开的整数n和m。

  第2～n+1行为n?m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

• 输出描述 Output Description

  输出 仅包含1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

• 样例输入 Sample Input

  2 3

  1 2 3

  3 4 2

• 样例输出 Sample Output

  82

• 数据范围及提示 Data Size & Hint

  样例解释

  第1次：第1行取行首元素，第2行取行尾元素，本次得分为1?21+2?21=6

  第2次：两行均取行首元素，本次得分为2?22+3?22=20

  第3次：得分为3?23+4?23=56。总得分为6+20+56=82

  【限制】

  60%的数据满足：1≤n,m≤30, 答案不超过1016

  100%的数据满足：1≤n,m≤80,0≤ai,j≤1000

• 题解

  可以看出每行是相互独立的，所以可以先考虑每一行。问题简化为每次可以取一列数的第一个或最后一个，第i次取数获得的得分是ai?2i，问取这一列数可获得的最大得分。

  这样就可以很显然地看出是区间dp了。

  用f[i][j]表示取完[i,j]里的数后所获得的最大得分，应有：

  f[i][j]=max{f[i+1][j]+a[i]?2m?j+i,f[i][j?1]+a[j]?2m?j+i}

  即第一次取的是头上的元素和第一次取的是尾部的元素取最大值。

  然后n遍dp，把每行的最大值加起来就得到了答案。

  本题需要写高精。

• Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
const int maxnum = 35;
const int M = 100000000;            //压位到一亿
typedef unsigned long long ll;      //所以开long long
int n, m, map[81][81];
//下面一坨高精度翔，可以先不理它
struct highNum
{
    ll num[maxnum];
    highNum(int length = 1)
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
        num[0] = length;
    }
    highNum operator = (highNum b)
    {
        memcpy(num, b.num, sizeof(b.num));
        return *this;
    }
    highNum operator = (int b)
    {
        *this = highNum();
        num[num[0]] = b;
        return *this;
    }
    bool operator < (const highNum& b) const
    {
        if(num[0] < b.num[0]) return true;
        if(num[0] == b.num[0])
        {
            for(int i = num[0]; i >= 1; --i)
            {
                if(num[i] > b.num[i]) return false;
                if(num[i] < b.num[i]) return true;
            }
        }
        return false;
    }
    highNum operator + (const highNum& b) const
    {
        highNum c = highNum(max(num[0], b.num[0]));
        for(int i = 1; i <= c.num[0]; ++i)
        {
            c.num[i] += num[i] + b.num[i];
            c.num[i + 1] += c.num[i] / M;
            c.num[i] %= M;
        }
        while(c.num[c.num[0] + 1] > 0)
        {
            ++c.num[0];
            c.num[c.num[0] + 1] += c.num[c.num[0]] / M;
            c.num[c.num[0]] %= M;
        }
        return c;
    }
    highNum operator * (const int b) const
    {
        highNum c = highNum(num[0]);
        for(int i = 1; i <= c.num[0]; ++i)
        {
            c.num[i] += num[i] * b;
            c.num[i + 1] += c.num[i] / M;
            c.num[i] %= M;
        }
        while(c.num[c.num[0] + 1] > 0)
        {
            ++c.num[0];
            c.num[c.num[0] + 1] += c.num[c.num[0]] / M;
            c.num[c.num[0]] %= M;
        }
        while(c.num[c.num[0]] == 0 && c.num[0] > 1) --c.num[0];
        return c;
    }
    highNum operator * (const highNum& b) const
    {
        highNum c = highNum(num[0] + b.num[0]);
        for(int i = 1; i <= num[0]; ++i) for(int j = 1; j <= b.num[0]; ++j)
        {
            c.num[i + j - 1] += num[i] * b.num[j];
            c.num[i + j] += c.num[i + j - 1] / M;
            c.num[i + j - 1] %= M;
        }
        while(c.num[c.num[0] + 1] > 0)
        {
            ++c.num[0];
            c.num[c.num[0] + 1] += c.num[c.num[0]] / M;
            c.num[c.num[0]] %= M;
        }
        while(c.num[c.num[0]] == 0 && c.num[0] > 1) --c.num[0];
        return c;
    }
};
ostream& operator << (ostream& o, highNum& b)
{
    o << b.num[b.num[0]];
    o.setf(ios::fixed);
    o.width(8);
    o.fill(‘0‘);
    for(int i = b.num[0] - 1; i >= 1; --i) o << b.num[i];
    return o;
}
//这里才开始真正解题
highNum ans, f[81][81], pw[81];
void init()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= m; ++j)
        cin >> map[i][j];           //读入这个矩阵
    pw[1] = 2;                      //pw来存2的若干次方
    for(int i = 2; i <= m; ++i) pw[i] = pw[i - 1] * 2;
}
void work(int row)                  //dp第row行
{
    for(int i = 1; i <= m; ++i) for(int j = 1; j <= m; ++j)
        f[i][j] = highNum();        //对每一行dp要先清空dp数组
    for(int i = 1; i <= m; ++i) f[i][i] = pw[m] * map[row][i];
    for(int p = 1; p < m; ++p) for(int i = 1; i <= m - p; ++i)
    {
        int j = i + p;
        f[i][j] = max(f[i + 1][j] + pw[m - p] * map[row][i], f[i][j - 1] + pw[m - p] * map[row][j]);
    }
    ans = ans + f[1][m];
}
int main()
{
    init();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) work(i);
    cout << ans;
    return 0;
}