2-SAT问题
现有一个由N个布尔值组成的序列A，给出一些限制关系，比如A[x]AND A[y]=0、A[x] OR A[y] OR A[z]=1等，要确定A[0..N-1]的值，使得其满足所有限制关系。这个称为SAT问题，特别的，若每种限制关系中最多只对两个元素进行限制，则称为2-SAT问题。
由于在2-SAT问题中，最多只对两个元素进行限制，所以可能的限制关系共有11种：
A[x]
NOT A[x]
A[x] AND A[y]
A[x] AND NOT A[y]
A[x] OR A[y]
A[x] OR NOT A[y]
NOT (A[x] AND A[y])
NOT (A[x] OR A[y])
A[x] XOR A[y]
NOT (A[x] XOR A[y])
A[x] XOR NOT A[y]
进一步，A[x] ANDA[y]相当于(A[x]) AND (A[y])（也就是可以拆分成A[x]与A[y]两个限制关系），NOT(A[x]OR A[y])相当于NOT A[x] AND NOT A[y]（也就是可以拆分成NOT A[x]与NOT A[y]两个限制关系）。因此，可能的限制关系最多只有9种。
在实际问题中，2-SAT问题在大多数时候表现成以下形式：有N对物品，每对物品中必须选取一个，也只能选取一个，并且它们之间存在某些限制关系（如某两个物品不能都选，某两个物品不能都不选，某两个物品必须且只能选一个，某个物品必选）等，这时，可以将每对物品当成一个布尔值（选取第一个物品相当于0，选取第二个相当于1），如果所有的限制关系最多只对两个物品进行限制，则它们都可以转化成9种基本限制关系，从而转化为2-SAT模型。
(引自：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/10/05/2712429.html)
在程序实现中，我们把初始的n个物品变成2n个节点，然后从0开始编号到2*n-1号。其中原始第i个物品对应节点i*2和i*2+1。如果我们mark[i*2]节点，那么表示我们i节点设为假，如果我们mark[i*2+1]节点，那么我们i节点设为真。同一个节点只能mark一种结果(即对于原始i来说，我们只能mark[i*2]或mark[i*2+1]其中之一)。
然后加入存在i假或j假的论述，我们就引一条图中从2*i+1到2*j的边，再引一条2*j+1到2*i的边，表示如果i是真的，那么j肯定是假的(否则之前的结论不成立)。且如果j是真的，那么i肯定是假的(否则之前的结论也不成立)。
如果存在i为真的论述，那么我们直接mark[i*2+1]即可。
最终判断整个问题是否有解，就是做多次dfs来设置每个节点可能的值(真或假)，看看是否所有可能取值情况都会冲突。如果不冲突，那么有解。(这里并不需要暴力枚举所有的可能，具体请看刘汝佳<<训练指南>>P323)
注意：下面解题的过程中，比如我们要设定i为假，那么我们不是mark[i*2]=true，而是添加一条i*2+1->i*2的边，即只要i设为真了，那么就会使得导出矛盾。因为每个节点只有两种选择，所以上面添加边的思路更直观。反而每次都去转换成一条或语句更不直观。我基本上所有的题解都是以添加边的角度来做的。
下面给出2-SAT的模板代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=10000+10;
struct TwoSAT
{
int n;//原始图的节点数(未翻倍)
vector<int> G[maxn*2];//G[i]==j表示如果mark[i]=true,那么mark[j]也要=true
bool mark[maxn*2];//标记
int S[maxn*2],c;//S和c用来记录一次dfs遍历的所有节点编号
void init(int n)
{
this->n=n;
for(int i=0;i<2*n;i++) G[i].clear();
memset(mark,0,sizeof(mark));
}
//加入(x,xval)或(y,yval)条件
//xval=0表示假，yval=1表示真
void add_clause(int x,int xval,int y,int yval)
{
x=x*2+xval;
y=y*2+yval;
G[x^1].push_back(y);
G[y^1].push_back(x);
}
//从x执行dfs遍历,途径的所有点都标记
//如果不能标记,那么返回false
bool dfs(int x)
{
if(mark[x^1]) return false;//这两句的位置不能调换
if(mark[x]) return true;
mark[x]=true;
S[c++]=x;
for(int i=0;i<G[x].size();i++)
if(!dfs(G[x][i])) return false;
return true;
}
//判断当前2-SAT问题是否有解
bool solve()
{
for(int i=0;i<2*n;i+=2)
if(!mark[i] && !mark[i+1])
{
c=0;
if(!dfs(i))
{
while(c>0) mark[S[--c]]=false;
if(!dfs(i+1)) return false;
}
}
return true;
}
};
2-SAT应用
POJ 3207 Ikki‘s Story IV - Panda‘s Trick(2-SAT)：圆内外连线问题。解题报告！
POJ 3678 Katu Puzzle(2-SAT)：与或非判断数值。解题报告！
POJ 3683 Priest John‘s Busiest Day(2-SAT输出方案)：判断区间是否重叠。解题报告！
POJ 3648 Wedding(2-SAT)：婚礼座位安排。解题报告！
POJ 2723 Get Luffy Out(2-SAT)：钥匙开门问题。解题报告！
POJ 2749 Building roads(2-SAT)：如何构建道路。解题报告！
POJ 2296 Map Labeler(2-SAT)：放置正方形。解题报告！
HDU 3062 Party(2-SAT简单题)：夫妻选择出席聚会。解题报告！
HDU 1814 Peaceful Commission(2-SAT:最小字典序)：代表参加会议。解题报告！
HDU 3622 Bomb Game(2-SAT+二分)：放置炸弹问题。解题报告！
HDU 3715 Go Deeper(2-SAT)：程序递归深度问题。解题报告！
HDU 1824 Let‘s go home(2-SAT)：队员去留问题。解题报告！
POJ 3905 Perfect Election(简单2-SAT)：选举问题。解题报告！
HDU 4115 Eliminate the Conflict (2-SAT)：出拳问题。解题报告！