一、图的可行遍历
1）欧拉图
条件：1、图连通；2、奇度点数为0或2；
算法（一次dfs）
时间复杂度O（E），空间复杂度O（E）
1 //前向星,vis[]标记走过的边,cnt初始为1,i的反向边为i^1
2 void addedge (int u, int v) {
3 edge[++cnt].v = v,edge[cnt].ne = head[u];
4 head[u] = cnt;
5 }
6 void EulerianP (int x) {
7 for (int i = head[x]; i != 0; i = edge[i].ne) {
8 if (!vis[i]) {
9 vis[i] = vis[i^1]=1;
10 EulerianP (edge[i].v);
11 }
12 }
13 //输出顺序即为路径顺序
14 printf ("%d\n", x);
15 }
2）哈密顿图
哈密顿图的判断是一个NP问题。
当n个点的图当任意不同两点的度数和大于n时，一定存在哈密顿回路。
算法思路：
1、从任意两个相邻的节点S，T开始，拓展出一条尽量长的链，令两端节点为S，T；
2、 若S，T相邻，则出现回路，-》4
3、若没有回路则构造，链中找到节点相邻节点u，v，u与T相连，v与S相连，将原路径变为S->u->T->v,即出现回路；
4、如果回路中有n个点，找到了哈密顿路，否则找到回路中与外一点想连的点，断开。又得到一条链，重复步骤1.
时间复杂度O（n^2）,空间复杂度（n^2）
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <algorithm>
4 #include <cstring>
5 #include <vector>
6 using namespace std;
7 #define pb push_back
8 #define sz(a) (int)(a).size()
9
10 const int INF = 500;
11 bool edge[INF][INF];
12 typedef vector<int> vi;
13 vi ans;
14 //求哈密顿回路O(n^2)
15 void Hamilton (vi& ans, bool edge[INF][INF], int n) {
16 int s = 1, tol = 2, t, i, j;
17 bool vis[INF] = {0};
18 for (i = 1; i <= n; i++) if (edge[s][i]) break;
19 t = i;
20 vis[s] = vis[t] = 1;
21 ans.pb (s); ans.pb (t);
22 while (1) {
23 //头尾拓展
24 while (1) {
25 for (i = 1; i <= n; i++)
26 if (edge[t][i] && !vis[i]) {
27 vis[i] = 1; t = i;
28 ans.pb (i);
29 break;
30 }
31 if (i > n) break;
32 }
33 reverse (ans.begin(), ans.end() );
34 swap (s, t);
35 while (1) {
36 for (i = 1; i <= n; i++)
37 if (edge[t][i] && !vis[i]) {
38 vis[i] = 1; t = i;
39 ans.pb (i);
40 break;
41 }
42 if (i > n) break;
43 }
44 //如果S和T不相连
45 if (!edge[s][t]) {
46 for (i = 1; i < sz (ans) - 2; i++)
47 if (edge[ans[i]][t] && edge[ans[i + 1]][s]) break;
48 reverse (ans.begin() + i + 1, ans.end() );
49 t = * (ans.end() - 1);
50 }
51 tol = sz (ans);
52 if (tol == n) return;
53 //如果还有点未加入ans
54 for (j = 1; j <= n; j++) {
55 if (vis[j]) continue;
56 //找到与这个点相连的点
57 for (i = 1; i < tol - 1; i++) if (edge[ans[i]][j]) break;
58 if (edge[ans[i]][j]) break;
59 }
60 s = ans[i - 1], t = j;
61 reverse (ans.begin(), ans.begin() + i );
62 reverse (ans.begin() + i, ans.end() );
63 ans.pb (j), vis[j] = 1;
64 }
65 }
算法特点：一般看似NP的哈密顿路的判断问题可以通过变化成为欧拉路问题，也是解题的关键。
二、图的生成树
1）最小生成树
prim（堆优化）时间复杂度O（（n+m）logN）
kruskal 时间复杂度O（mlogm+m）
2）次小生成树
思路：从生成的最小生成树中加入一条后，去掉环中除新加边外最大的边
使用prim，思路更加直观：每加入一个点，更新当前集合中任意两点间的最长边的长度。
生成最小生成树后，加入从未使用的过的最短边（u，v），u，v间的最长边与（u，v）的差就是次小生成树与最小生成树的差
//图的次小生成树：
//从生成的最小生成树中加入一条后，去掉环中除新加边外最大的边
//1.prim实现时间复杂度O（N*N+M*logM）
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int INF = 111;
//记录两点间路径上的最长边长度
int maxl[INF][INF];
//前向星存边
struct node {
int u, v, len, ne, id;
} edge[INF*INF];
//vise标记选择了哪些边
//dis记录从当前选择节点中到其他节点的最短距离以及边的编号.
int cnt, head[INF], dis[INF][2], vise[INF*INF];
void addedge (int u, int v, int d) {
edge[++cnt].v = v, edge[cnt].u = u;
edge[cnt].len = d, edge[cnt].ne = head[u];
edge[cnt].id = head[u] = cnt;
}
void update (int x) {
for (int i = head[x]; i != 0; i = edge[i].ne) {
int v = edge[i].v, c = edge[i].len;
if (dis[v][0] > c) dis[v][0] = c, dis[v][1] = i;
}
}
int second_MST_prim (int n) {
bool vis[INF] = {0};
bool vise[INF * INF] = {0};
memset (dis, 0x3f, sizeof dis);
memset (maxl, 0, sizeof maxl);
vis[1] = 1, update (1);
int ans = 0, tol = 1, j, now = 1;
while (tol < n) {
int minl = 0x3f3f3f3f;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!vis[i] && minl > dis[i][0])
minl = dis[i][0], j = i;
for (int k = 1; k <= n; k++)
maxl[k][j] = maxl[j][k] = max (maxl[now][k], minl);
maxl[j][j] = 0, update (j), vis[j] = 1;
vise[dis[j][1]] = vise[dis[j][1] ^ 1] = 1;
now = j, tol++, ans += minl;
}
int tem = 0x7fffffff;
for (int i = 2; i <= cnt; i++)
if (!vise[edge[i].id])
tem = min (tem, edge[i].len - maxl[edge[i].u][edge[i].v]);
if (tem != 0) return ans;
else
return -1;
}
3)有向图的最小树形图
朱刘算法
思路：
1、从图G找到以每个点为终点的最小弧。构成子图G’
2、若无有向环和收缩点，算法结束。
3、收缩G’的有向环为，改变到环中点的边权。
4、展开收缩点。（若只求最小权可不做）
确定根的情况
#include <iostream>
#include <utility>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define sqr(a) (a)*(a)
using namespace std;
const int INF = 109;
const int Max=(1<<30);
int n, m, x, y;
typedef pair<int , int > ii;
struct node {
int u, v;
double c;
} E[INF*INF];
ii f[INF];
//最小树形图，朱刘算法，确定根
double Directed_MST (int root, int n, int m, node E[INF]) {
int Din[INF], ret = 0; //记录最短入边
int pre[INF], Np[INF], vis[INF];//记录最小边的出顶点
for (int i = 1; i <= n; i++) Np[i] = i;
while (1) {
int cnt = 0;//统计有入边的点
for(int i=1;i<=n;i++) Din[i]=-1;
//得到每个点的最小入边和出顶点
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if ( E[i].v == E[i].u || E[i].v==root) continue;
if (Din[E[i].v] > E[i].c || (Din[E[i].v]<0 && ++cnt) ) Din[E[i].v] = E[i].c, pre[E[i].v] = E[i].u;
}
//图不联通,不存在最小树形图
if (cnt < n - 1) return -1;
memset (Np, -1, sizeof Np);
memset (vis, -1, sizeof vis);
Din[root] = 0;
//找环
int cntnode = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ret += Din[i];
int v = i;
while (vis[v] != i && Np[v] == -1 && v != root) {
vis[v] = i;
v = pre[v];
}
if (v != root && Np[v] == -1) {
for (int u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
Np[u] = cntnode;
Np[v] = cntnode++;
}
}
if (cntnode == 1) break; //无环
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (Np[i] == -1)
Np[i] = cntnode++;
//缩点，改变边长
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u = E[i].u, v = E[i].v;
E[i].u = Np[u];
E[i].v = Np[v];
if (E[i].u != E[i].v) {
E[i].c -= Din[v];
}
}
n = cntnode-1;
root = Np[root];
}
return ret;
}
不确定根的情况
#include <iostream>
#include <utility>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define ll __int64
#define sqr(a) (a)*(a)
using namespace std;
const int INF = 1009;
const int Max = 1 << 30;
int n, m, r, tol = 1;
struct node {
int u, v, c;
} E[INF*INF];
/*
最小树形图，朱刘算法，适用不确定根
需要记录 tol（图中所有边长和+1,可初始为1）
4个参数分别为（节点数，边数，E边集数组，根地址）
时间复杂度O（VE）
*/
ll Directed_MST (int n, int m, node E[INF], int &p) {
//添加“假根”的出边
for (int i = 1; i <= n; i++) {
E[++m].u = n + 1, E[m].v = i, E[m].c = tol;
}
int pre[INF], Np[INF], vis[INF], root = ++n; //记录最小边的出顶点
ll Din[INF], ret = 0; //记录最短入边
while (1) {
int cnt = 0;//统计有入边的点
memset(Din,-1,sizeof Din);
//得到每个点的最小入边和出顶点
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if ( E[i].v == E[i].u || E[i].v == root) continue;
if (Din[E[i].v] > E[i].c || (Din[E[i].v]<0 && ++cnt) ) {
Din[E[i].v] = E[i].c, pre[E[i].v] = E[i].u;
if (E[i].u == root) p = i;//用到了假根的第几个边即真正根的编号
}
}
if (cnt < n - 1) return -1;//图不联通,不存在最小树形图
memset (Np, -1, sizeof Np);
memset (vis, -1, sizeof vis);
Din[root] = 0;
//找环
int cntnode = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ret += Din[i];
int v = i;
while (vis[v] != i && Np[v] == -1 && v != root) {
vis[v] = i;
v = pre[v];
}
if (v != root && Np[v] == -1) {
for (int u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
Np[u] = cntnode;
Np[v] = cntnode++;
}
}
if (cntnode == 1) break; //无环
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (Np[i] == -1)
Np[i] = cntnode++;
//缩点，改变边长
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u = E[i].u, v = E[i].v;
E[i].u = Np[u], E[i].v = Np[v];
if (E[i].u != E[i].v)
E[i].c -= Din[v];
}
n = cntnode - 1;
root = Np[root];
}
return ret;
}
int main() {
while (~scanf ("%d %d", &n, &m) ) {
int x, y, z;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf ("%d %d %d", &x, &y, &z);
E[i].u = x + 1, E[i].v = y + 1, E[i].c = z;
tol += z; //累计所有边长，赋值给“假根”
}
ll ans = Directed_MST (n , m, E, r);
if (ans == -1 || ans >= 2 * tol) puts ("impossible");
else
printf ("%I64d %d\n", ans - tol, r - m - 1);
putchar (10);
}
return 0;
}
时间： 2024-08-06 04:05:23