AOE 网络

1、定义

如果在无向环的带权有向图中

- 用有向边表示一个工程中的活动

- 用边上的权值表示活动的持续时间

- 用顶点表示事件

则这样的有向图叫做用边表示活动的网络，简称AOE网络

AOE在工程方面非常有用：

例如：

（1）完成整个工程至少需要多少时间（假设没有环）；

（2）为缩短完成工程所需时间，应当加快那些活动？

从源点到各个顶点，以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。这些路径的长度也可能不同，完成不同路径的活动所需时间不同，但只有各条路径上所有活动都完成了，整个工程才完成。

Hence, 完成整个工程所需时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在该路径上所有活动的持续时间之和，给路径称为关键路径。

为了找出关键路径，必须找出关键活动，即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。

关键路径上的所有活动都是关键活动。

修改后的拓扑排序：

void TopologicalSort(AdjGraph G)
{
	Stack S;
	StackEmpty(S);
	int j;

	for(int i=0;i<n;i++) //入度为0的顶点进栈
		if(count[i]==0)
			Push(S,i);

	while(!StackEmpty(S))
	{
		Pop(S,j); //退栈
		cout << j << endl;  //输出栈顶元素
		Push(T,j); //j号顶点入栈
		EdgeNode * p=data[j].firstarc;
		while(p!=NULL)     //扫描出边表
		{
           int k=p->adjvex;  //另一顶点
           if(--count[k]==0) //顶点入度减一
           	  Psuh(S,k);  //顶点入度减至0，进栈
            if(ve[j]+p->info>ve[k])ve[k]=ve[j]+p->info;
            p=p->nextarc;
		}
	}
}

CristicalPath(G)
{
	vl[0..vexnum-1]=ve[vexnum-1];
	while(!StackEmpty(T))
	{
		Pop(T,j);
		p=G.data[j].firstarc;
		while(p!=NULL)
		{
			k=p->adjvex;
			dut=p->info;
			if(vl[k]-dut<vl[j]) vl[j]=vl[k]-dut;
		}
		for(j=0;j<vexnum;j++)
			for(p=G.data[j].firstarc;p;p=p->next)
			{
				k=p->adjvex;
				dut=p->info;
				ee=ve[j];
				el=vl[k]-dut;
				if(ee=el)printf("j,k");
			}
	}
}

算法分析：

在拓扑排序求Ve[i]，与逆拓扑排序求Vl[i]时需要的时间复杂度为O(n+e)，求各个活动e(k)与l(k)需要的时间复杂度为O(e),

则总的时间复杂度为O(n+e)

注意到并不是改变任何一个关键活动的时间都可以改变总时间