数论 同余式

第一节 同余


定理1：如果 ac = bc (mod m)，那么 a = b (mod m / (m, c))

第二节 剩余类和完全剩余系


完全剩余系即是每个剩余类中任意取一数。

定理1：x 过 m 的完全剩余系，那么若如果有与 m 互素的整数 a，ax 也过 m 的完全剩余系。

定理2：m1 m2 是两个互素的正模，那么如果 x1 x2 分别过 m1 m2 的完全剩余系，m1x2 + m2x1 过 m1m2 的完全剩余系。

第三节 缩系与欧拉函数


定义：首先，对于一个模 m 每个剩余类中的数与 m 的互素性是相同的，对每个与 m 具有互素性的剩余类中取一个数，就得到了 m 的一个缩系。

定义：欧拉函数 phi(n) 表示与 1~n 中与 n 互素的数的个数。

定理1：m 的缩系中有 phi(m) 个数

定理2：a[1] a[2] ... a[phi(m)] 构成 m 的缩系，等价于：

  1. a[i] 与 m 互素
  2. a[i] 与 a[j] 不同余，i <> j

定理3：x 过 m 的缩系，那么若如果有与 m 互素的整数 a，ax 也过 m 的缩系。

定理4：m1 m2 是两个互素的正模，那么如果 x1 与 x2 分别过 m1 与 m2 的缩系，m1x2 + m2x1 过 m1*m2 的缩系。

本节的定理 3 4 与第二节的定理 1 2 完全类似

定理5：【欧拉定理】：如果 (a, m) = 1，那么 pow(a, phi(m)) = 1 (mod m)

证明：(a x1)(a x2)...(a xp) = x1 x2 ... xp (mod m)

　　pow(a, p) x1 x2 ... xp = x1 x2 ... xp

　　$$a^p = 1 (\mod m)$$

定理6：phi(n) = phi(p1 ^ a1 p2 ^ a2 ... pk ^ ak) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)...(1 - 1/pk)

有定理 3 4 的支持，定理 5 6 变得显然。

时间： 2024-10-04 01:27:29

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数论 --- 同余定理

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