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一、前言
二值图像，顾名思义就是图像的亮度值只有两个状态：黑(0)和白(255)。二值图像在图像分析与识别中有着举足轻重的地位，因为其模式简单，对像素在空间上的关系有着极强的表现力。在实际应用中，很多图像的分析最终都转换为二值图像的分析，比如：医学图像分析、前景检测、字符识别，形状识别。二值化+数学形态学能解决很多计算机识别工程中目标提取的问题。
二值图像分析最重要的方法就是连通区域标记，它是所有二值图像分析的基础，它通过对二值图像中白色像素（目标）的标记，让每个单独的连通区域形成一个被标识的块，进一步的我们就可以获取这些块的轮廓、外接矩形、质心、不变矩等几何参数。
下面是一个二值图像被标记后，比较形象的显示效果，这就是我们这篇文章的目标。
二、连通域
在我们讨论连通区域标记的算法之前，我们先要明确什么是连通区域，怎样的像素邻接关系构成连通。在图像中，最小的单位是像素，每个像素周围有8个邻接像素，常见的邻接关系有2种：4邻接与8邻接。4邻接一共4个点，即上下左右，如下左图所示。8邻接的点一共有8个，包括了对角线位置的点，如下右图所示。
如果像素点A与B邻接，我们称A与B连通，于是我们不加证明的有如下的结论：
如果A与B连通，B与C连通，则A与C连通。
在视觉上看来，彼此连通的点形成了一个区域，而不连通的点形成了不同的区域。这样的一个所有的点彼此连通点构成的集合，我们称为一个连通区域。
下面这符图中，如果考虑4邻接，则有3个连通区域；如果考虑8邻接，则有2个连通区域。（注：图像是被放大的效果，图像正方形实际只有4个像素）。
三、连通区域的标记
连通区域标记算法有很多种，有的算法可以一次遍历图像完成标记，有的则需要2次或更多次遍历图像。这也就造成了不同的算法时间效率的差别，在这里我们介绍2种算法。
第一种算法是现在matlab中连通区域标记函数bwlabel中使的算法，它一次遍历图像，并记下每一行（或列）中连续的团（run）和标记的等价对，然后通过等价对对原来的图像进行重新标记，这个算法是目前我尝试的几个中效率最高的一个，但是算法里用到了稀疏矩阵与Dulmage-Mendelsohn分解算法用来消除等价对，这部分原理比较麻烦，所以本文里将不介绍这个分解算法，取而代这的用图的深度优先遍历来替换等价对。
第二种算法是现在开源库cvBlob中使用的标记算法，它通过定位连通区域的内外轮廓来标记整个图像，这个算法的核心是轮廓的搜索算法，这个我们将在文章中详细介绍。这个算法相比与第一种方法效率上要低一些，但是在连通区域个数在100以内时，两者几乎无差别，当连通区域个数到了103数量级时，上面的算法会比该算法快10倍以上。
四、基于行程的标记
我们首先给出算法的描述，然后再结合实际图像来说明算法的步骤。
1，逐行扫描图像，我们把每一行中连续的白色像素组成一个序列称为一个团(run)，并记下它的起点start、它的终点end以及它所在的行号。
2，对于除了第一行外的所有行里的团，如果它与前一行中的所有团都没有重合区域，则给它一个新的标号；如果它仅与上一行中一个团有重合区域，则将上一行的那个团的标号赋给它；如果它与上一行的2个以上的团有重叠区域，则给当前团赋一个相连团的最小标号，并将上一行的这几个团的标记写入等价对，说明它们属于一类。
3，将等价对转换为等价序列，每一个序列需要给一相同的标号，因为它们都是等价的。从1开始，给每个等价序列一个标号。
4，遍历开始团的标记，查找等价序列，给予它们新的标记。
5，将每个团的标号填入标记图像中。
6，结束。
我们来结合一个三行的图像说明，上面的这些操作。
第一行，我们得到两个团：[2,6]和[10,13]，同时给它们标记1和2。
第二行，我们又得到两个团：[6,7]和[9,10]，但是它们都和上一行的团有重叠区域，所以用上一行的团标记，即1和2。
第三行，两个：[2,4]和[7,8]。[2,4]这个团与上一行没有重叠的团，所以给它一个新的记号为3；而[2,4]这个团与上一行的两个团都有重叠，所以给它一个两者中最小的标号，即1，然后将（1，2）写入等价对。
全部图像遍历结束，我们得到了很多个团的起始坐标，终止坐标，它们所在的行以及它们的标号。同时我们还得到了一个等价对的列表。
下面我们用C++实现上面的过程，即步骤2，分两个进行：
1）fillRunVectors函数完成所有团的查找与记录；
1 void fillRunVectors(const Mat& bwImage, int& NumberOfRuns, vector<int>& stRun, vector<int>& enRun, vector<int>& rowRun)
2 {
3 for (int i = 0; i < bwImage.rows; i++)
4 {
5 const uchar* rowData = bwImage.ptr<uchar>(i);
6
7 if (rowData[0] == 255)
8 {
9 NumberOfRuns++;
10 stRun.push_back(0);
11 rowRun.push_back(i);
12 }
13 for (int j = 1; j < bwImage.cols; j++)
14 {
15 if (rowData[j - 1] == 0 && rowData[j] == 255)
16 {
17 NumberOfRuns++;
18 stRun.push_back(j);
19 rowRun.push_back(i);
20 }
21 else if (rowData[j - 1] == 255 && rowData[j] == 0)
22 {
23 enRun.push_back(j - 1);
24 }
25 }
26 if (rowData[bwImage.cols - 1])
27 {
28 enRun.push_back(bwImage.cols - 1);
29 }
30 }
31 }
2）firstPass函数完成团的标记与等价对列表的生成。相比之下第二个函数要稍微难理解一些。
1 void firstPass(vector<int>& stRun, vector<int>& enRun, vector<int>& rowRun, int NumberOfRuns,
2 vector<int>& runLabels, vector<pair<int, int>>& equivalences, int offset)
3 {
4 runLabels.assign(NumberOfRuns, 0);
5 int idxLabel = 1;
6 int curRowIdx = 0;
7 int firstRunOnCur = 0;
8 int firstRunOnPre = 0;
9 int lastRunOnPre = -1;
10 for (int i = 0; i < NumberOfRuns; i++)
11 {
12 if (rowRun[i] != curRowIdx)
13 {
14 curRowIdx = rowRun[i];
15 firstRunOnPre = firstRunOnCur;
16 lastRunOnPre = i - 1;
17 firstRunOnCur = i;
18
19 }
20 for (int j = firstRunOnPre; j <= lastRunOnPre; j++)
21 {
22 if (stRun[i] <= enRun[j] + offset && enRun[i] >= stRun[j] - offset)
23 {
24 if (runLabels[i] == 0) // 没有被标号过
25 runLabels[i] = runLabels[j];
26 else if (runLabels[i] != runLabels[j])// 已经被标号
27 equivalences.push_back(make_pair(runLabels[i], runLabels[j])); // 保存等价对
28 }
29 }
30 if (runLabels[i] == 0) // 没有与前一列的任何run重合
31 {
32 runLabels[i] = idxLabel++;
33 }
34
35 }
36 }
接下来是我们的重点，即等价对的处理，我们需要将它转化为若干个等价序列。比如有如下等价对：
(1,2),(1,6),(3,7),(9-3),(8,1),(8,10),(11,5),(11,8),(11,12),(11,13),(11,14),(15,11)
我们需要得到最终序列是：
list1:1-2-5-6-8-10-11-12-13-14-15
list2:3-7-9
list3:4
一个思路是将1-15个点都看成图的结点，而等价对（1，2）说明结点1与结点2之间有通路，而且形成的图是无向图，即（1，2）其实包含了（2，1）。我们需要遍历图，找出其中的所有连通图。所以我们采用了图像深入优先遍历的原理，进行等价序列的查找。
从结点1开始，它有3个路径1-2，1-6，1-8。2和6后面都没有路径，8有2条路径通往10和11，而10没有后续路径，11则有5条路径通往5，12，13，14，15。等价表1查找完毕。
第2条等价表从3开始，则只有2条路径通向7和9，7和9后面无路径，等价表2查找完毕。
最后只剩下4，它没有在等价对里出现过，所以单儿形成一个序列（这里假设步骤2中团的最大标号为15）。
下面是这个过程的C++实现，每个等价表用一个vector<int>来保存，等价对列表保存在map<pair<int,int>>里。
1 void replaceSameLabel(vector<int>& runLabels, vector<pair<int, int>>&
2 equivalence)
3 {
4 int maxLabel = *max_element(runLabels.begin(), runLabels.end());
5 vector<vector<bool>> eqTab(maxLabel, vector<bool>(maxLabel, false));
6 vector<pair<int, int>>::iterator vecPairIt = equivalence.begin();
7 while (vecPairIt != equivalence.end())
8 {
9 eqTab[vecPairIt->first - 1][vecPairIt->second - 1] = true;
10 eqTab[vecPairIt->second - 1][vecPairIt->first - 1] = true;
11 vecPairIt++;
12 }
13 vector<int> labelFlag(maxLabel, 0);
14 vector<vector<int>> equaList;
15 vector<int> tempList;
16 cout << maxLabel << endl;
17 for (int i = 1; i <= maxLabel; i++)
18 {
19 if (labelFlag[i - 1])
20 {
21 continue;
22 }
23 labelFlag[i - 1] = equaList.size() + 1;
24 tempList.push_back(i);
25 for (vector<int>::size_type j = 0; j < tempList.size(); j++)
26 {
27 for (vector<bool>::size_type k = 0; k != eqTab[tempList[j] - 1].size(); k++)
28 {
29 if (eqTab[tempList[j] - 1][k] && !labelFlag[k])
30 {
31 tempList.push_back(k + 1);
32 labelFlag[k] = equaList.size() + 1;
33 }
34 }
35 }
36 equaList.push_back(tempList);
37 tempList.clear();
38 }
39 cout << equaList.size() << endl;
40 for (vector<int>::size_type i = 0; i != runLabels.size(); i++)
41 {
42 runLabels[i] = labelFlag[runLabels[i] - 1];
43 }
44 }
五、基于轮廓的标记
在这里我还是先给出算法描述：
1，从上至下，从左至右依次遍历图像。
2，如下图A所示，A为遇到一个外轮廓点（其实上遍历过程中第一个遇到的白点即为外轮廓点），且没有被标记过，则给A一个新的标记号。我们从A点出发，按照一定的规则（这个规则后面详细介绍）将A所在的外轮廓点全部跟踪到，然后回到A点，并将路径上的点全部标记为A的标号。
3，如下图B所示，如果遇到已经标记过的外轮廓点A′,则从A′向右，将它右边的点都标记为A′的标号，直到遇到黑色像素为止。
4，如下图C所示，如果遇到了一个已经被标记的点B，且是内轮廓的点(它的正下方像素为黑色像素且不在外轮廓上)，则从B点开始，跟踪内轮廓，路径上的点都设置为B的标号，因为B已经被标记过与A相同，所以内轮廓与外轮廓将标记相同的标号。
5，如下图D所示，如果遍历到内轮廓上的点，则也是用轮廓的标号去标记它右侧的点，直到遇到黑色像素为止。
6，结束。
整个算法步骤，我们只扫描了一次图像，同时我们对图像中的像素进行标记，要么赋予一个新的标号，要么用它同行的左边的标号去标记它，下面是算法更详细的描述：
对于一个需要标记的图像I，我们定义一个与它对应的标记图像L，用来保存标记信息，开始我们把L上的所有值设置为0，同时我们有一个标签变量C，初始化为1。然后我们开始扫描图像I，遇到白色像素时，设这个点为P点，我们需要按下面不同情况进行不同的处理：
情况1：如果P(i,j)点是一个白色像素，在L图像上这个位置没有被标记过，而且P点的上方为黑色，则P是一个新的外轮廓的点，这时候我们将C的标签值标记给L图像上P点的位置(x,y),即L(x,y)=C,接着我们沿着P点开始做轮廓跟踪，并把把轮廓上的点对应的L上都标记为C，完成整个轮廓的搜索与标记后，回到了P点。最后不要忘了把C的值加1。这个过程如下面图像S1中所示。
情况2：如果P点的下方的点是unmarked点（什么是unmark点，情况3介绍完就会给出定义），则P点一定是内轮廓上的点，这时候有两种情况，一种是P点在L上已经被标记过了，说明这个点同时也是外轮廓上的点；另一种情况是P点在L上还没有被标记过，那如果是按上面步骤来的，P点左边的点一定被标记了（这一处刚开始理解可能不容易，不妨画一个简单的图，自己试着一个点一个点标记试试，就容易理解了），所以这时候我们采用P点左边点的标记值来标记P，接着从P点开始跟踪内轮廓把内轮廓上的点都标记为P的标号。
下面图像显示了上面分析的两种P的情况，左图的P点既是外轮廓上的点也是内轮廓上的点。
情况3：如果一个点P，不是上面两种情况之一，那么P点的左边一定被标记过(不理解，就手动去标记上面两幅图像)，我们只需要用它左边的标号去标记L上的P点。
现在我们只剩下一个问题了，就是什么是unmarked点，我们知道内轮廓点开始点P的下方一定是一个黑色像素，是不是黑色像素就是unmarked点呢，显然不是，如下图像的Q点，它的下面也是黑色像素，然而它却不是内轮廓上的点。
实际上在我们在轮廓跟踪时，我们我轮廓点的周围做了标记，在轮廓点周围被查找过的点（查找方式见下面的轮廓跟踪算法）在L上被标记了一个负值（如下面右图所示），所以Q点的下方被标记为了负值，这样Q的下方就不是一个unmarked点，unmarked点，即在L上的标号没有被修改过，即为0。
显然，这个算法的重点在于轮廓的查找与标记，而对于轮廓的查找，就是确定搜索策略的问题，我们下面给内轮廓与外轮廓定义tracker规则。
我们对一点像素点周围的8个点分析作一个标号0-7，因为我们在遍历图像中第一个遇到的点肯定是外轮廓点，所以我们先来确定外轮廓的搜索策略，对于外轮廓的点P，有两种情况：
1）如果P是外轮廓的起点，也就是说我们是从P点开始跟踪的，那么我们从7号（右上角）位置P1开始，看7号是不是白色点，如果是，则把这个点加入外轮廓点中，并将它标记与P点相同，如果7号点是黑色点，则按顺时针7-0-1-2-3-4-5-6这个顺序搜索直到遇到白点为止，把那个点确定为P1,加入外轮廓，并把这个点的标号设置与P点相同。这里很重要一步就是，假设我们2号点才是白点，那么7，0，1这三个位置我们都搜索过，所以我们要把这些点在L上标记为一个负值。如下图所示，其中右图像标记的结果。
2）那么如果P是不是外轮廓的起点，即P是外轮廓路径上的一个点，那么它肯定是由一个点进入的，我们设置为P−1点，P−1点的位置为x(0<=x<=7)，那么P点从(x+2)mod8这个位置开始寻找下一步的路径，(x+2)mod8是加2取模的意思，它反映在图像就是从P-1点按顺时针数2个格子的位置。确定搜索起点后，按照上面一种情况进行下面的步骤。
外轮廓点的跟踪方式确定了后，内轮廓点的跟踪方式大同小异，只是如果P是内轮廓的第一个点，则它的开始搜索位置不是7号点而是3号点。其他的与外轮廓完全一致。
如要上面搜索方式，你不是很直观的理解，不妨尝试着去搜索下面这幅图像，你应该有能有明确的了解了。一个路径搜索结束的条件是，回到原始点S，则S周围不存在unmarked点。
如下边中间图像所示，从S点开始形成的路径是STUTSVWV。
在OpenCV中查找轮廓的函数已经存在了，而且可以得到轮廓之间的层次关系。这个函数按上面的算法实现起来并不困难，所以这里就不再实现这个函数，有兴趣的可以看OpenCV的源码（contours.cpp）。
1 void bwLabel(const Mat& imgBw, Mat & imgLabeled)
2 {
3 // 对图像周围扩充一格
4 Mat imgClone = Mat(imgBw.rows + 1, imgBw.cols + 1, imgBw.type(), Scalar(0));
5 imgBw.copyTo(imgClone(Rect(1, 1, imgBw.cols, imgBw.rows)));
6
7 imgLabeled.create(imgClone.size(), imgClone.type());
8 imgLabeled.setTo(Scalar::all(0));
9
10 vector<vector<Point>> contours;
11 vector<Vec4i> hierarchy;
12 findContours(imgClone, contours, hierarchy, CV_RETR_CCOMP, CV_CHAIN_APPROX_NONE);
13
14 vector<int> contoursLabel(contours.size(), 0);
15 int numlab = 1;
16 // 标记外围轮廓
17 for (vector<vector<Point>>::size_type i = 0; i < contours.size(); i++)
18 {
19 if (hierarchy[i][3] >= 0) // 有父轮廓
20 {
21 continue;
22 }
23 for (vector<Point>::size_type k = 0; k != contours[i].size(); k++)
24 {
25 imgLabeled.at<uchar>(contours[i][k].y, contours[i][k].x) = numlab;
26 }
27 contoursLabel[i] = numlab++;
28 }
29 // 标记内轮廓
30 for (vector<vector<Point>>::size_type i = 0; i < contours.size(); i++)
31 {
32 if (hierarchy[i][3] < 0)
33 {
34 continue;
35 }
36 for (vector<Point>::size_type k = 0; k != contours[i].size(); k++)
37 {
38 imgLabeled.at<uchar>(contours[i][k].y, contours[i][k].x) = contoursLabel[hierarchy[i][3]];
39 }
40 }
41 // 非轮廓像素的标记
42 for (int i = 0; i < imgLabeled.rows; i++)
43 {
44 for (int j = 0; j < imgLabeled.cols; j++)
45 {
46 if (imgClone.at<uchar>(i, j) != 0 && imgLabeled.at<uchar>(i, j) == 0)
47 {
48 imgLabeled.at<uchar>(i, j) = imgLabeled.at<uchar>(i, j - 1);
49 }
50 }
51 }
52 imgLabeled = imgLabeled(Rect(1, 1, imgBw.cols, imgBw.rows)).clone(); // 将边界裁剪掉1像素
53 }