HDU 3732 Ahui Writes Word(多重背包)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3732

题意:

初始有N个物品, 每个物品有cost[i]花费和val[i]价值, 你有m元钱, 现在问你最多能买多少总价值的物品?

其中N<=10W, m<=1W. 且cost[i]和val[i]都在[0,10]范围.

分析:

本题初看直接用01背包来做是直观的想法. 但是考虑到01背包的复杂度为O(N*m), 这么大的复杂度肯定不行.

然后我们发现其实每种物品只与它的cost[i]和val[i]有关, 如果某两个物品的cost[i]和val[i]完全相等, 我们可以把这两种物品合并(看出一种物品但是数量叠加), 最终我们直接解决一个多重背包问题即可. 如果是多重背包问题,
复杂度为O(m*sum( log(num[i]) ) )  其中 num[i]的和为N.

初始我们读取输入, 然后我们把所有的物品排序,然后在分类之后就构成了n种物品, 每种物品具有num[i]个的多重背包问题.

令dp[i][j]==x 表示购买前i种物品时总花费<=j时, 可以获得的最大价值为x.

初始化: dp全为0.

对于第i种商品, 有下面两种情况:

如果val[i]*num[i]>=m, 就做一次完全背包.

如果val[i]*num[i]<m, 就把第i种物品重新分类, 并做k+1次01背包.

最终所求: dp[n][m]的值.

程序实现, 用的滚动数组逆向递推, 所以dp只有[j]一维.

AC代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=121+5;

int n;//合并之后n种物品
int m;//最大花费值
int val[maxn]; //新分类i物品价值
int num[maxn]; //新分类i物品数目
int cost[maxn];//新分类i物品花费
int dp[10000+5];

//1次01背包过程
void ZERO_ONE_PACK(int cost,int val)
{
    for(int i=m;i>=cost;i--)
        dp[i] = max(dp[i], dp[i-cost]+val);
}

//1次完全背包过程
void COMPLETE_PACK(int cost,int val)
{
    for(int i=cost;i<=m;i++)
        dp[i] = max(dp[i], dp[i-cost]+val);
}

//1次多重背包过程
void MULTIPLY_PACK(int cost,int val,int sum)
{
    if(cost*sum>=m)
    {
        COMPLETE_PACK(cost,val);
        return ;
    }

    int k=1;
    while(k<sum)
    {
        ZERO_ONE_PACK(cost*k,val*k);
        sum-=k;
        k*=2;
    }
    ZERO_ONE_PACK(cost*sum, val*sum);
}

//Node用于保存原始输入的每个单词属性
struct Node
{
    int v,c;
    bool operator<(const Node &rhs)const
    {
        return v<rhs.v || (v==rhs.v && c<rhs.c);
    }
    bool operator==(const Node &rhs)const
    {
        return v==rhs.v && c==rhs.c;
    }
}nodes[100000+5];
int N;//原始N个单词

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&N,&m)==2)
    {
        //读取输入
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            char str[20];
            scanf("%s %d%d",str,&nodes[i].v,&nodes[i].c);
        }

        //将原始输入物品合并再分类
        sort(nodes+1,nodes+N+1);
        n=1;
        val[n]=nodes[1].v;
        cost[n]=nodes[1].c;
        num[n]=1;
        for(int i=2;i<=N;i++)
        {
            if(nodes[i]==nodes[i-1])
                num[n]++;
            else
            {
                n++;
                val[n]=nodes[i].v;
                cost[n]=nodes[i].c;
                num[n]=1;
            }
        }

        //递推输出
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            MULTIPLY_PACK(cost[i],val[i],num[i]);
        printf("%d\n",dp[m]);
    }
    return 0;
}