【卡特兰数】【数论】

前几个卡特兰数：规定C0＝1，而

C1＝1，            C2＝2，             C3＝5，
             C4＝14，            C5＝42，

C6＝132，       C7＝429，         C8＝1430，
      C9＝4862，        C10＝16796，

C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845。

求卡特兰数的公式有一下几个：

1. h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/（n+1）
2. h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
3. h(n)=C(2n,n)/(n+1)
   (n=0,1,2,...)
4. h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

下面给出一个卡特兰数的大数运算：能精确运算100以内的卡特兰数。

/* 大数解
对于大数来说，就应该使用下面的大数算法。
使用的公式为：h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/（n+1）;
*/
// 0ms
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define MAX 100   //能计算的最大值10000^100，最大为400位
#define BASE 10000
void multiply(int a[],int Max,int b) //大数乘法,注意参数的传递
{
    int i,array=0;
    for (i = Max-1; i >= 0; i--)
    {
        array += b * a[i];
        a[i] = array % BASE;         // 数组每一位存放大数的四位数字
        array /= BASE;
    }
}
void divide(int a[], int Max, int b) //模拟大数除法
{
    int i, div = 0;
    for (i = 0; i < Max; i++)
    {
        div = div * BASE + a[i];
        a[i] = div / b;
        div %= b;
    }
}
int main()
{
    int a[101][MAX],i, n;
    memset(a[1],0,MAX*sizeof(int));
    for (i=2, a[1][MAX-1] = 1; i < 101; i++) // 高坐标存放大数低位
    {
        memcpy(a[i], a[i-1], MAX * sizeof(int));      //h[i] = h[i-1];
        multiply(a[i], MAX, 4 * i - 2);               //h[i] *= (4*i-2);
        divide(a[i], MAX, i + 1);                     //h[i] /= （i+1）;
    }
    while (cin >> n)
    {
        for (i = 0; i < MAX && a[n][i] == 0; i++); //去掉数组前为0的数字。
        cout << a[n][i++];             //输出第一个非0数
        for (; i < MAX; i++)
        {
            printf("%04d",a[n][i]);       //输出后面的数，并每位都保持4位长度!(32767)
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

关于具体的运用别的博客上介绍的很清楚了。

下面只写出自己觉得有点意思的.........

12个人高低不同 站成两排，每一排的人必须是按照从低到高的顺序排，并且第一排对应的那个第二个人必须必第一排的人高。问一共有多少种方法。这个题目，我们可以这样来想：用0表示在第一排，用1表示在第二排。

比如000000111111表示的就是

1 2 3  4   5   6

7 8 9 10 11 12

000110001111 表示的就是

1 2 3  6   7   8

4 5 9 10 11 12

多少种排列方法就是满足所描述条件的排列有多少，很明显就是一个进栈出栈的问题了。

所以题目的答案就是卡特兰数（6）