经典白话算法之堆排序

前序：

(二叉)堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树。树中每个节点与数组中存放该节点值的那个元素对应。

树的每一层都是填满的，最后一层除外。

树的根为a[1] （在这里是从1开始的，也可以从0开始），给定了某个节点的下标i，其父节点为i/2，左二子为2*i，右儿子为2*i+1。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。

当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。

保持堆的性质：

MaxHeap是对最大堆进行操作的最重要的子程序。

以i为根的子树：

在算法每一步中，从a[i], a[Left(i)], a[Right(i)]找出最大值，并将其下标存在LargestIndex中。如果a[i]是最大的，则以i为根的子树已是最大堆,程序结束。

否则i的某个子结点中有最大元素则交换a[i],a[LargetIndex],从而使i及子女满足堆性质。下标为LargestIndex的结点在交换后的值为a[i],以该结点为根的子树又有可能违反最大堆的性质，因而又要对该子树递归调用MaxHeap，重新使子树平衡。

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1. //调整以index为根的子树
2. //n：堆中元素个数
3. int MaxHeap(int a[],int index,int n){
4. int LargestIndex = index;
5. //左子节点
6. int LeftIndex = 2*index;
7. //右子节点
8. int RightIndex = 2*index+1;
9. if(LeftIndex <= n && a[LeftIndex] > a[LargestIndex]){
10. LargestIndex = LeftIndex;
11. }
12. if(RightIndex <= n && a[RightIndex] > a[LargestIndex]){
13. LargestIndex = RightIndex;
14. }
15. //如果a[index]是最大的，则以index为根的子树已是最大堆否则index的子节点有最大元素
16. //则交换a[index],a[LargetIndex],从而使index及子女满足堆性质
17. int temp;
18. if(LargestIndex != index){
19. //交换a[index],a[LargetIndex]
20. temp = a[index];
21. a[index] = a[LargestIndex];
22. a[LargestIndex] = temp;
23. //重新调整以LargestIndex为根的子树
24. MaxHeap(a,LargestIndex,n);
25. }
26. return 0;
27. }

建堆：

我们可以自底向上的用MaxHeap来将一个数组a[1-n]变成一个最大堆，子数组a[n/2+1,........n]中的元素是树中的叶子，因此每个都可以看做只含一个元素的堆，满足最大堆的要求，不用调整。所以只需调整以a[n/2........1]中元素为根的子树使之成为最大堆。

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1. //建堆：将一个数组a[1-n]变成一个最大堆
2. int BuildMaxHeap(int a[],int n){
3. int i;
4. //子数组a[(n/2+1,n/2+2......n)]中的元素都是树中的叶子
5. for(i = n/2;i >= 1;i--){
6. //调整以i为根节点的树使之成为最大堆
7. MaxHeap(a,i,n);
8. }
9. return 0;
10. }

a数组

初始堆：

自底向上从最后一个非叶节点开始调整：

（a）                                                    （b）                                                
（c）                                                   （d）

每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。

堆排序：

开始时，堆排序先用BuildMaxHeap将输入数组a[1-n]构造成一个最大堆。又因为数组中最大元素在根a[1]，则可以通过它与a[n]交换来达到最终的正确位置。

现在，如果从堆中”去掉“结点n(不是真的删除，而是通过修改堆的元素个数n)，可以很容易的将a[1-(n-1)]建成最大堆。原来根的子女依旧是最大堆，二新交换的根元素很有可能违背最大堆的性质。这时调用MaxHeap重新调整一下。在a[1-(n-1)]中构造出最大堆。堆排序不断重复这一过程，堆的大小由n-1一直降到2.从而完成排序的功能

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1. //堆排序
2. int HeapSort(int a[],int n){
3. int temp;
4. //BulidMaxHeap将输入数组构造一个最大堆
5. BuildMaxHeap(a,n);
6. //数组中最大元素在根a[1]，则可以通过它与a[n]交换来达到最终的正确位置
7. for(int i = n;i >= 2;i--){
8. //交换
9. temp = a[i];
10. a[i] = a[1];
11. a[1] = temp;
12. //a[i]已达到正确位置，从堆中去掉
13. n--;
14. //重新调整，保持最大堆的性质
15. MaxHeap(a,1,n);
16. }
17. return 0;
18. }

（a）                                                   （b）                                              
（c）                                                （d）

（e）                                                    （f）                                                
   （g）

（h）                                              （i）                                                
 （j）                                                （k）

红色为排序后的结果；

代码：

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1. #include<stdio.h>
2. #include<stdlib.h>
3. //调整堆
4. int MaxHeap(int a[],int index,int n){
5. int LargestIndex = index;
6. //左子节点
7. int LeftIndex = 2*index;
8. //右子节点
9. int RightIndex = 2*index+1;
10. if(LeftIndex <= n && a[LeftIndex] > a[LargestIndex]){
11. LargestIndex = LeftIndex;
12. }
13. if(RightIndex <= n && a[RightIndex] > a[LargestIndex]){
14. LargestIndex = RightIndex;
15. }
16. //如果a[index]是最大的，则以index为根的子树已是最大堆否则index的子节点有最大元素
17. //则交换a[index],a[LargetIndex],从而使index及子女满足堆性质
18. int temp;
19. if(LargestIndex != index){
20. //交换a[index],a[LargetIndex]
21. temp = a[index];
22. a[index] = a[LargestIndex];
23. a[LargestIndex] = temp;
24. //重新调整以LargestIndex为根的子树
25. MaxHeap(a,LargestIndex,n);
26. }
27. return 0;
28. }
29. //建堆：将一个数组a[1-n]变成一个最大堆
30. int BuildMaxHeap(int a[],int n){
31. int i;
32. //子数组a[(n/2+1,n/2+2......n)]中的元素都是树中的叶子
33. for(i = n/2;i >= 1;i--){
34. //调整以i为根节点的树使之成为最大堆
35. MaxHeap(a,i,n);
36. }
37. return 0;
38. }
39. //堆排序
40. int HeapSort(int a[],int n){
41. int temp;
42. //BulidMaxHeap将输入数组构造一个最大堆
43. BuildMaxHeap(a,n);
44. //数组中最大元素在根a[1]，则可以通过它与a[n]交换来达到最终的正确位置
45. for(int i = n;i >= 2;i--){
46. //交换
47. temp = a[i];
48. a[i] = a[1];
49. a[1] = temp;
50. //a[i]已达到正确位置，从堆中去掉
51. n--;
52. //重新调整，保持最大堆的性质
53. MaxHeap(a,1,n);
54. }
55. return 0;
56. }
57. int main(){
58. int n = 6;
59. //a[0]不用，堆的根结点是从1开始的
60. int a[] = {0,3,17,8,7,16,20};
61. HeapSort(a,n);
62. for(int i = 1;i <= n;i++){
63. printf("%d ",a[i]);
64. }
65. return 0;
66. }