卡尔曼滤波模型及其Matlab实现

卡尔曼滤波建立在隐马尔科夫模型上，是一种递归估计。也就是说，只需要知道上一个状态的估计值，以及当前状态的观测值，就能计算当前状态的最优估计值。

而不需要更早的历史信息。

卡尔曼滤波器的2个状态

1.最优估计

2.误差协方差矩阵

这两个变量迭代计算，初始值多少，其实没有影响。反正最后都能收敛到最优估计。

预测过程

F是状态转移矩阵，B是控制矩阵（也可以不需要）。Q是过程噪声的协方差。

这里等式左边小勾勾表示估计量，有个负号表示，这个估计量还不优，差点东西。

更新过程

第1个式子，是状态更新过程。H是测量矩阵，Z是观察矩阵，括号里是测量残差。

第2个式子，是卡尔曼增益矩阵。R是观察噪声的协方差矩阵。

第3个式子，是误差协方差矩阵更新过程。

于是可以开始迭代了。我们以小汽车的[位置速度]为状态变量，小车做匀速运动。

Z=(1:100)+0.1*randn(1,100);%观测值加方差为1的白噪声
X=[0.8;1.2];%初始最优估计状态
P=[1.2 0.9;0.8 1.3];%初始最优协方差矩阵
F=[1 1;0 1];%状态转移矩阵
Q=[0.001 0;0 0.001];%预测噪声协方差矩阵
H=[1 0];%观测矩阵
R=1;%观测噪声协方差矩阵
hold on
for i=1:100
    X_=F*X;%这里没有控制量
    P_=F*P*F'+Q;
    K=P_*H'/(H*P_*H'+R);
    X=X_+K*(Z(i)-H*X_);
    P=(eye(2)-K*H)*P_;
    plot(X(1),X(2),'*');
end

可以看到，虽然初始状态随便写，但是很快就收敛到了真实值附近。预测噪声协方差矩阵Q要小一点才行，这表示我们对状态转移矩阵的信心足够大。否则预测效果会很差。

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