[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.6

6. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 是正定矩阵, $B$ 是 Hermite 矩阵. 则 $$\bex A+B\mbox{ 正定当且仅当 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n. \eex$$

证明: $$\beex \bea &\quad A+B\mbox{ 正定}\\ &\lra E+A^{-1/2}BA^{-1/2}\mbox{ 正定}\\ &\lra \lm_j(A^{-1/2}BA^{-1/2})>-1,\quad \forall\ j=1,\cdots,n\\ &\lra \lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n, \eea \eeex$$ 最后一步是因为 $AB$ 与 $BA$ 的特征值相同.

时间： 2024-10-29 19:11:53

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14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变? 解答: 置换算子 $f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$, 使得 $$\bex f(A)=PAP^T,\quad \forall\ A\in M_n; \eex$$ 或 $$\bex f(A)=PA^TP^T,\quad \forall\ A\in M_n. \eex$$ 置换算子 $f$

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1. 对于怎样的 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $A\otimes B=I$? 解答:     写出     $$\bex     A\otimes B=\sex{\ba{ccc}     a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\     \vdots&\ddots&\vdots\\     a_{n1}B&\cdots&a_{nn}B     \ea}.     \eex$$     要使 $A\otimes B=I$, 当且仅当

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