主成分分析(PCA, Principal Component Analysis)
- 一个非监督的机器学习算法
- 主要用于数据的降维处理
- 通过降维,可以发现更便于人类理解的特征
- 其他应用:数据可视化,去噪等
主成分分析是尽可能地忠实再现原始重要信息的数据降维方法
原理推导:
如图,有一个二维的数据集,其特征分布于特征1和2两个方向
现在希望对数据进行降维处理,将数据压缩到一维,直观的我们可以想到将特征一或者特征二舍弃一个,可以得到这样的结果
------- : 舍弃特征1之后
------- : 舍弃特征2之后
可以看出,舍弃特征2保留特征1是一个较好的降维方案,此时点和点之间距离较大,拥有更高的可区分度
此时我们要想,肯定会有比这更好的方案,毕竟这太简单了
我们想象一下,能够找到这样的一条斜线w,将数据降维到w上(映射到w上)之后,能最好的保留原来的分布特征,且这些点分布在了一个轴上(斜线w)后点和点之间的距离也比之前的两种方案更加的大,此时的区分度也更加明显
思考:
- 如何找到让这个样本降维后间距最大的轴?
- 如何定义样本间距?
在统计学中,有一个直接的指标可以表示样本间的间距,那就是方差(Variance)
这样回过头来看思考1,问题就变成了:
找到一个轴,使得样本空间的所有点映射到这个轴之后,方差最大
求解这个轴的过程
将样例的均值归为0(demean)
将全部样本都减去样本的均值,可以将样本转化为这种:
经过demean后,在各个维度均值均为0,我们可以推出:
方便我们进行计算
我们想要求w轴的方向(w1,w2),使得 Var(Xproject) 最大,Xproject 是映射到w轴之后的X的坐标
因为我们已经进行了demean操作,均值为0,所以此时
而 ||Xproject(i)||2 的实际长度就是下图中蓝色向量的长度
实际上,求把一个向量映射到另一个向量上的对应映射的长度,就是线性代数中点乘的操作
此时w是一个方向向量,||w|| = 1,所以可以化简成:
且因为前面已经推知
通过替换,我们就得到了:
而我们的目标,就是求w,使得Var(Xproject) 最大
对公式进行拆分
再化简:
至此,我们的主成分分析法就化简成了一个目标函数最优化问题,因为是求最大值,可以使用梯度上升法解决
使用梯度上升法求解PCA
目标: 求w,使得 
最大
f(X)的梯度
此时再观察,可以将式子展开能够得到这样的结果:
再化简,可得:
原式 = 
= 
最后就得出结论:
那么,求出第一个主成分之后,如何求出下一个主成分呢?
数据进行改变,将数据在第一主成分上的分量去掉,如图
Xpr(i) 是第一主成分,原数据去掉第一主成分之后可以得到
再在 X‘(i) 上求第一主成分即可求出原数据的第二主成分,以此类推..
代码实现
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 # 生成测试数据 5 X = np.empty((100, 2)) 6 X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100) 7 X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0]+ 3. + np.random.normal(0, 10., size=100) 8 9 # 均值归零方法 10 def demean(X): 11 return X - np.mean(X, axis=0) 12 13 X_demean = demean(X) 14 15 # 梯度上升法 16 def f(w, X): 17 return np.sum((X.dot(w)**2)) / len(X) 18 def df(w, X): 19 return X.T.dot(X.dot(w)) * 2. / len(X) 20 21 # 将w转化为单位向量,方便计算 22 def direction(w): 23 return w / np.linalg.norm(w) 24 25 #求第一主成分 26 def first_component(X, initial_w, eta, n_iters = 1e4, epsilon = 1e-8): 27 28 w = direction(initial_w) 29 cur_iter = 0 30 31 while cur_iter < n_iters: 32 gradient = df(w, X) 33 last_w = w 34 w = w + eta * gradient 35 w = direction(w) # 每次求一个单位方向 36 if abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon: 37 break 38 39 cur_iter += 1 40 return w 41 42 initial_w = np.random.random(X.shape[1]) # 不能从零开始 43 44 eta = 0.01 45 46 def first_n_component(n, X, eta=0.01, n_iters = 1e4, espilon = 1e-8): 47 X_pca = X.copy() 48 X_pca = demean(X_pca) 49 res = [] 50 for i in range(n): 51 initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1]) 52 w = first_component(X_pca, initial_w, eta) 53 res.append(w) 54 55 X_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1, 1) 56 X_pca = X_pca * w 57 return res 58 59 # 注意 不能使用StandardScaler标准化数据 这样会打掉样本间的方差 求不出想要的结果 60 61 res = first_n_component(2, X)
原文地址：https://www.cnblogs.com/VitoLin21/p/11371780.html