全期望公式：
全概率公式：
【题意】：
一个软件有s个子系统，会产生n种bug。
某人一天发现一个bug，这个bug属于某种bug，发生在某个子系统中。
求找到所有的n种bug，且每个子系统都找到bug，这样所要的天数的期望。
【分析】：需要注意的是：bug的数量是无穷大的，所以发现一个bug，出现在某个子系统的概率是1/s，
属于某种类型的概率是1/n。
那么dp[i][j]表示还要找到i个系统，还要找到j种病毒的概率。
具体dp方程看代码。但怎么来说这个dp方程的正确性都怪怪的。
s,n<=1000
【代码】：
1 #include <iostream>
2 #include <stdio.h>
3 #include <math.h>
4
5 using namespace std;
6
7 double dp[1005][1005];
8 int S,N;
9 int main(){
10 while(~scanf("%d%d",&N,&S)){
11 double n=N+0.0;
12 double s=S+0.0;
13 dp[S][N]=0;
14 for(int i=S;i>=0;i--){
15 for(int j=N;j>=0;j--){
16 double ans=1;
17 if (i==S && j==N) continue;
18 if (i<S) ans+=dp[i+1][j]*(s-i)*j/(s*n);
19 if (j<N) ans+=dp[i][j+1]*(n-j)*i/(s*n);
20 if (i<S && j<N) ans+=dp[i+1][j+1]*(s-i)*(n-j)/(s*n);
21 dp[i][j]=ans/(1.0-i*j/(s*n));
22 }
23 }
24 printf("%.4f\n",dp[0][0]);
25 }
26 return 0;
27 }
【题意】：
有n个格子，掷色子的掷出的数目就是你一次到移动格数(1--6的点数)。
其中有m个飞行通道可以让你直接从第xi格飞到第yi格。
传送中是连续的，而且不要投骰子
问你走到终点的期望是多少。
【分析】：
dp[i]:开始时处于i位置时要走的期望步数。
一道状态转移要特判的dp，因为一旦从x点可以直接到y点的话，则dp[x]=dp[y];
否则dp[i]=1/6*sigm(dp[i+1]...dp[i+6])+1，i>=N时dp[i]=1;
具体处理看代码。
【代码】：
1 #include <iostream>
2 #include <stdio.h>
3 #include <math.h>
4
5 using namespace std;
6
7 int N,M;
8 int c[100010];
9 double dp[100010];
10 int dfs(int i){
11 if (c[i]==i) return c[i];
12 else return dfs(c[i]);
13 }
14 int main(){
15 while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
16 if (N==0 && M==0) break;
17 for(int i=0;i<=N;i++){
18 c[i]=i;
19 }
20 for(int i=1;i<=M;i++){
21 int x,y;
22 scanf("%d%d",&x,&y);
23 c[x]=y;
24 }
25 for(int i=0;i<=N;i++){
26 if (c[i]==i) continue;
27 else c[i]=dfs(i);
28 }
29 for(int i=N;i<=N+7;i++) {
30 dp[i]=0;
31 c[i]=i;
32 }
33 for(int i=N-1;i>=0;i--){
34 double ans=0;
35 if (c[i]!=i){
36 dp[i]=dp[c[i]];
37 continue;
38 }
39 for(int j=1;j<=6;j++) {
40 int x=i+j;
41 ans+=dp[c[x]];
42 }
43 ans=ans*(1/6.0)+1;
44 dp[i]=ans;
45 }
46 printf("%.4f\n",dp[0]);
47 }
48 return 0;
49 }
【题意】：（%>_<%异次元杀阵有没有）
有n个房间，由n-1条隧道连通起来，实际上就形成了一棵树，
从结点1出发，开始走，在每个结点i都有3种可能：
1.被杀死，回到结点1处（概率为ki）
2.找到出口，走出迷宫 （概率为ei）
3.和该点相连有m条边，随机走一条
求：走出迷宫所要走的边数的期望值。
【分析】：（按照kuangbin的博客推导了一遍，写在本子上，无耻地将之分析粘过来）
设 E[i]表示在结点i处，要走出迷宫所要走的边数的期望。E[1]即为所求。
叶子结点：
E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)*(E[father[i]] + 1);
= ki*E[1] + (1-ki-ei)*E[father[i]] + (1-ki-ei);
非叶子结点：（m为与结点相连的边数）
E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)/m*( E[father[i]]+1 + ∑( E[child[i]]+1 ) );
= ki*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei)/m*∑(E[child[i]]) + (1-ki-ei);
设对每个结点：E[i] = Ai*E[1] + Bi*E[father[i]] + Ci;
对于非叶子结点i，设j为i的孩子结点，则
∑(E[child[i]]) = ∑E[j]
= ∑(Aj*E[1] + Bj*E[father[j]] + Cj)
= ∑(Aj*E[1] + Bj*E[i] + Cj)
带入上面的式子得
(1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj)*E[i] = (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj)*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei) + (1-ki-ei)/m*∑Cj;
由此可得
Ai = (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj) / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
Bi = (1-ki-ei)/m / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
Ci = ( (1-ki-ei)+(1-ki-ei)/m*∑Cj ) / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
对于叶子结点
Ai = ki;
Bi = 1 - ki - ei;
Ci = 1 - ki - ei;
从叶子结点开始，直到算出 A1,B1,C1;
E[1] = A1*E[1] + B1*0 + C1;
所以
E[1] = C1 / (1 - A1);
若 A1趋近于1则无解...
【代码】：
1 /*
2
3 */
4 #include <iostream>
5 #include <stdio.h>
6 #include <math.h>
7 #include <vector>
8 #define eps 1e-10
9 using namespace std;
10 vector<int>G[10010];
11 double A[10010];
12 double B[10010];
13 double C[10010];
14 double e[10010],k[10010],p[10010];
15
16 int N,K;
17 bool dfs(int u,int fa){
18 int m=G[u].size();
19 double sumA=0,sumB=0,sumC=0;
20 for(int i=0;i<m;i++){
21 int v=G[u][i];
22 if (v==fa) continue;
23 if (!dfs(v,u)) return false;
24 sumB+=p[u]/m*B[v];
25 sumA+=p[u]/m*A[v];
26 sumC+=p[u]/m*C[v];
27 }
28 if (1-sumB<eps) return false;
29 A[u]=(k[u]+sumA)/(1-sumB);
30 B[u]=p[u]/m/(1-sumB);
31 C[u]=(p[u]+sumC)/(1-sumB);
32 return true;
33 }
34 int main(){
35 int t;
36 scanf("%d",&t);
37 for(int cas=1;cas<=t;cas++){
38 scanf("%d",&N);
39 int u,v;
40 for(int i=0;i<=N;i++) G[i].clear();
41 for(int i=0;i<N-1;i++){
42 scanf("%d%d",&u,&v);
43 G[u].push_back(v);
44 G[v].push_back(u);
45 }
46 for(int i=1;i<=N;i++){
47 scanf("%lf%lf",&k[i],&e[i]);
48 k[i]/=100;
49 e[i]/=100;
50 p[i]=1-k[i]-e[i];
51 }
52 printf("Case %d: ",cas);
53 if (dfs(1,-1)==false || (1-A[1]<eps)){
54 printf("impossible\n");
55 }else {
56 double ans=C[1]/(1-A[1]);
57 printf("%.6f\n",ans);
58 }
59 }
60 return 0;
61 }
【题意】：有一个人被困在一个 R*C(2<=R,C<=1000) 的迷宫中，起初他在 (1,1) 这个点，迷宫的出口是 (R,C)。在迷宫的每一个格子中，他能花费 2 个魔法值开启传送通道。假设他在 (x,y) 这个格子中，开启传送通道之后，有 p_lift[i][j] 的概率被送到 (x,y+1)，有 p_down[i][j] 的概率被送到 (x+1,y)，有 p_loop[i][j] 的概率被送到 (x,y)。问他到出口需要花费的魔法值的期望是多少。
【分析】：DP[i][j]表示现在处在(i,j)点时，需要花费的期望天数
dp[i][j]=mov0*dp[i][j]+mov1*dp[i][j+1]+mov2*dp[i+1][j]+2
写出全期望公式，但是要防止除0的发生，即1-mov0<eps,特判跳过这点就行了。表示不能走到这一点
即：
for(int i=N;i>=1;i--){
for(int j=M;j>=1;j--){
if (vis[i][j]) continue;
double ans=2;
if (!vis[i][j+1]) ans+=mov[i][j][1]*dp[i][j+1];
if (!vis[i+1][j]) ans+=mov[i][j][2]*dp[i+1][j];
dp[i][j]=ans/(1-mov[i][j][0]);
}
}【代码】：
1 /*
2
3 */
4 #include <iostream>
5 #include <stdio.h>
6 #include <math.h>
7 #include <vector>
8 #include <string.h>
9 #define eps 1e-10
10 using namespace std;
11 //int a[][2]={{0,0},{0,1},{1,0}};
12 double dp[1004][1004];
13 double mov[1004][1004][3];
14 bool vis[1004][1004];
15 int N,M;
16 int main(){
17 while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
18 memset(vis,false,sizeof(vis));
19 for(int i=1;i<=N;i++){
20 for(int j=1;j<=M;j++){
21 for(int k=0;k<3;k++){
22 scanf("%lf",&mov[i][j][k]);
23 if (1-mov[i][j][0]<eps) vis[i][j]=true;
24 }
25 }
26 }
27 //dp[i][j]=mov0*dp[i][j]+mov1*dp[i][j+1]+mov2*dp[i+1][j]+2;
28 //dp[N][M]=0;
29 //dp[1][1]=ans;
30 for(int i=0;i<=N+1;i++) dp[i][M+1]=0;
31 for(int i=0;i<=M+1;i++) dp[N+1][i]=0;
32 for(int i=N;i>=1;i--){
33 for(int j=M;j>=1;j--){
34 if (vis[i][j]) continue;
35 double ans=2;
36 if (!vis[i][j+1]) ans+=mov[i][j][1]*dp[i][j+1];
37 if (!vis[i+1][j]) ans+=mov[i][j][2]*dp[i+1][j];
38 dp[i][j]=ans/(1-mov[i][j][0]);
39 }
40 }
41 printf("%.3f\n",dp[1][1]);
42 }
43 return 0;
44 }
【题意】：
2^n支球队按照竞赛图踢足球，
给你任意两支球队相互之间踢赢的概率，
求最后那支球队最可能夺冠。
【分析】：每轮剩下的队伍是一定的，而且到底和谁PK也是一定的，按竞赛图枚举即可
//dp[i][j] = ∑dp[i-1][k]*p[j][k]*dp[i-1][j]
//k表示可能与j 比赛的队伍,那么k有哪些呢？
//当i=1时，和1
//当i=2时，和3,4
//当i=3时，和5,6,7,8
//就是 2^(i-1)+1---->2^(i)
【代码】：
1 /*
2 题意：2^n支球队按照竞赛图踢足球，
3 给你任意两支球队相互之间踢赢的概率，
4 求最后那支球队最可能夺冠。
5 */
6 #include <iostream>
7 #include <stdio.h>
8 #include <math.h>
9 #include <vector>
10 #include <string.h>
11 #define eps 1e-10
12 using namespace std;
13 //dp[i][j] = ∑dp[i-1][k]*p[j][k]*dp[i-1][j]
14 //k表示可能与j 比赛的队伍,那么k有哪些呢？
15 //当i=1时，和1
16 //当i=2时，和3,4
17 //当i=3时，和5,6,7,8
18 //就是 2^(i-1)+1---->2^(i)
19 double dp[10][150];
20 double p[150][150];
21 int N;
22 int main(){
23 while(~scanf("%d",&N)&& N!=-1){
24 for(int i=0;i<(1<<N);i++){
25 dp[0][i]=1;
26 }
27 for(int i=0;i<(1<<N);i++){
28 for(int j=0;j<(1<<N);j++){
29 scanf("%lf",&p[i][j]);
30 }
31 }
32 for(int i=1;i<=N;i++){
33 for(int j=0;j<(1<<N);j++){
34 dp[i][j]=0;
35 for(int k=0;k<(1<<N);k++){
36 if(((j>>(i-1))^1)==(k>>(i-1))){
37 dp[i][j]+=dp[i-1][k]*dp[i-1][j]*p[j][k];
38 // cout<<i<<","<<j<<","<<k<<":"<<dp[i][j]<<endl;
39 }
40 }
41 }
42 }
43 double m=-1;
44 int ans=-1;
45 for(int i=0;i<(1<<N);i++){
46 if (dp[N][i]>m){
47 m=dp[N][i];
48 ans=i;
49 }
50 }
51 printf("%d\n",ans+1);
52 }
53 return 0;
54 }
【题意】：
【题意】：
【题意】：
2014 summer day 6 概率dp
时间： 2024-10-29 19:09:57