在 2048 里能够得到的最大的数是多少？

Michael Brand 在 Using your Head is Permitted 趣题站 2014 年 4 月的谜题中提出了一个这样的问题：在最近非常流行的小游戏 2048 中，你能得到的最大的数是多少？

在这里，我们简单描述一下游戏的规则。游戏在一个 4 × 4 的棋盘上进行，棋盘里填有一个个的“数块”，每个数块上都写有某个形如 2ⁿ 的正整数。每一步，你需要从上、下、左、右四个方向中选取一个方向，按下对应的方向键之后，所有的数块都会“落”到这个方向；若有两个同种的数块在此过程中发生碰撞，则它们的值会相加起来，并合成一个新的数块。然后，系统会在棋盘中随机选择一个空白位置，并在此生出一个新的数块，上面写有数字 2 或者数字 4 （两种情况之比为 9 : 1）。游戏开始时，棋盘上会自动生成两个随机的数块，你的目标就是通过有限步的操作，得出一个写有 2048 的数块。当然，即使得到了 2048 这个数块，游戏也不会自动结束，你还可以向更大的数发起挑战。于是就有了我们刚才的问题：理论上，这个游戏当中能够得到的最大的数是多少？

可以证明，我们永远不可能在 2048 当中玩出 2¹⁸ 这个数。

让我们把棋盘上的所有数全部加起来，并在累加过程中不断关注当前总和的二进制表达。如果棋盘里的数分别是 2, 4, 16, 64, 16, 2 的话，累加结果的二进制表达依次为 10 → 110 → 10110 → 1010110 → 1100110 → 1101000 。你会发现，由于棋盘上的每个数都是形如 2ⁿ 的正整数，因而把它加进总和之后，这个总和的二进制表达里最多只会多出一个数字 1 （如果发生了进位，数字 1 的个数可能会不变甚至减少）。这意味着，如果最终棋盘上的所有数之和的二进制表达当中一共有 k 个数字 1 ，那就说明刚才至少有 k 个数在相加，换句话说棋盘里至少有 k 个数块。

容易看出，每走一步之后，棋盘上的所有数之和都会增加 2 或者 4 。如果最终棋盘上出现了一个 2¹⁸ ，就说明棋盘上的所有数之和至少是 2¹⁸ ，那么在此之前棋盘上的所有数之和一定经历过 2¹⁸ – 2 或者 2¹⁸ – 4 。前者的二进制表达为 11 1111 1111 1111 1110 ，这里面有 17 个数字 1 ，超过了棋盘里总的格子数，因而显然是不可能的。后者的二进制表达是 11 1111 1111 1111 1100 ，这里面有 16 个数字 1 ，正好是棋盘里总的格子数。这说明，此时棋盘刚好被填满， 2², 2³, 2⁴, …, 2¹⁷ 这 16 种不同的数块各有一个。这意味着棋盘里不但没有空白的格子，也没有相同种类的数块可以合并，此时玩家直接就死掉了！因而，我们是没有办法得到 2¹⁸的。

因此， 2¹⁷ = 131072 成为了 2048 这个游戏中数块大小的一个理论上限。但是，我们真的能弄出 131072 吗？看上去，我们好像只需要构造出下图所示的局面就行了，但这个局面本身能否实现，还有待进一步讨论。 Michael Brand 猜测，理论上 131072 也是无法得到的，但他不能证明这一点。我虽然在网上看见过很多网友宣称自己打出过 131072 ，甚至有的网友发出了最后几步的视频（比如这里），但由于我从来没有看到过完整的演示过程，因而也持怀疑态度。期待万能的网友们能够提供一种简洁有效的构造解，来说明当运气足够好的情况下，我们有办法打出 131072 ；或者找到一个更好的证明方法，足以说明 131072 也是理论上不可能实现的。

在 2048 里能够得到的最大的数是多少？