HDU 4911 (树状数组+逆序数)

题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4911

题目大意：最多可以交换K次，就最小逆序对数

解题思路：

逆序数定理，当逆序对数大于0时，若a_k<a_k+1,那么交换后逆序对数+1，反之-1。

设原始序列最小逆序对数=cnt

那么，交换K次的最小逆序对数max(0,cnt-k)

在求原始序列最小逆序对数上，朴素暴力复杂度O(n^2)不可取

有以下两种O（nlogn）的方法：

①排序内计算：

主要是利用归并排序内的特性，即相邻两个归并序列逆序情况不改变，[5,4,2,1]到[4,5]、[1,2]

在排序纠正逆序之后，4和1,5和2的逆序情况没有改变。利用这个性质，只要在归并排序对两个子序列merge排序时，统计逆序对数即可。

即，边排序，边统计，假设left、right序列是递归传递过来的序列从0开始重新编号之后，初始偏移，i=j=0

当left[i]>right[j]出现逆序情况时，cnt+=(leftnum-i)，即当前right[j]元素和left[i]及以后元素都构成逆序对。

归并后，递归继续merge更大的序列。统计复杂度=排序复杂度O（nlogn）

注意归并排序的写法，left尾和right尾要设为inf，这样后跑完的序列会直接和inf比较。

g#include "cstdio"
#include "algorithm"
#define LL long long
using namespace std;
int a[100005];
LL cnt=0;
void merge(int l,int m,int r)
{
    int lnum=m-l+1,rnum=r-m;
    int *LEFT=new int[lnum+1],*RIGHT=new int[rnum+1];
    for(int i=0;i<lnum;i++) LEFT[i]=a[l+i];
    for(int i=0;i<rnum;i++) RIGHT[i]=a[m+1+i];
    LEFT[lnum]=RIGHT[rnum]=0x3fffffff;
    int i=0,j=0;
    for(int k=l;k<=r;k++)
    {
        if(LEFT[i]<=RIGHT[j])
        {
            a[k]=LEFT[i];
            i++;
        }
        else
        {
            a[k]=RIGHT[j];
            j++;
            cnt+=(lnum-i);
        }
    }
}
void mergeSort(int l,int r)
{
    if(l<r)
    {
        int m=(r-l)/2+l;
        mergeSort(l,m);
        mergeSort(m+1,r);
        merge(l,m,r);
    }
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        cnt=0;
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        mergeSort(0,n-1);
        printf("%I64d\n",max((LL)0,cnt-k));
    }
}

②树状数组：

很奇葩的方法。首先使用记录原始位置pos的排序，然后对排序后的元素进行离散化处理。

如序列5,1,1，离散化成2,1,1，树状数组sum[i]记录的是离散化位置被激活的次数，即add(Hash[i],1)

如离散化位置1,2，初始值[0,0], 首先按照输入顺序add离散化位置。

输入5，sum情况[0,1]，那么树状数组getsum统计的是，在到此数的顺序数组上，被激活的个数。

用原始位置i-getsum，结果是，不含这个数，之前被激活的个数，即统计逆序情况。

如此时就是1，，这里由于1-1=0，即在5之前没有逆序对。

输入1，sum情况[1,1],getsum=1，i-getsum=1，有一个逆序对。[5,1]，原因是5在1之前激活了。

输入1，sum情况[2,1],getsum=2, i-getsum=1，有一个逆序对。这里要对重复的数做add，因为重复的数，i增加了，

getsum也要对应的增加，不然，会和前面重复数的算重了，比如3-1=2,，就是算重了。

#include "cstdio"
#include "algorithm"
#include "cstring"
#include "map"
using namespace std;
#define LL long long
int sum[100005],n,k,val,N;
LL cnt;
int lowbit(int x) {return x&(-x);}
struct Num
{
    int val,pos;
    Num() {}
    Num(int val,int pos):val(val),pos(pos) {}
    bool operator < (const Num &a) const {return val<a.val;}
}a[100005];
LL getsum(int x)
{
    LL ret=0;
    while(x>0)
    {
        ret+=sum[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}
void update(int x,int d)
{
    while(x<=N)
    {
        sum[x]+=d;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        map<LL,LL> Hash;
        cnt=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&val);
            a[i]=Num(val,i);
        }
        sort(a,a+n);
        int id=1;
        Hash[a[0].pos]=id;
        for(int i=1;i<n;i++) //离散化
        {
            if(a[i].val==a[i-1].val) Hash[a[i].pos]=id;
            else Hash[a[i].pos]=++id;
        }
        N=id;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            update(Hash[i],1);
            cnt+=(i+1-getsum(Hash[i]));
        }
        printf("%I64d\n",max((LL)0,cnt-k));
    }
}