关于循环矩阵的一些理解和应用

问题引入

给定一个长度为\(n\)的环，每次对于一个位置上的数，加上它左边的数乘上\(L\)，再加上右边的数乘上\(R\)。\(L,R\)是给定的常数，问执行\(s\)次之后，这个环上的每个位置上的数是多少

（计算时左边和右边的数都是上一次的数）

如果\(n \leq 100, s \leq 2^{30}\)

可以想到矩阵快速幂

构造矩阵
\[
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix}
\times \begin{bmatrix}
1 & l & 0 & 0 & \cdots & 0 & r \r & 1 & l & 0 & \cdots & 0 & 0 \\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \l & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & r & 1
\end{bmatrix} \=\;& \begin{bmatrix}a_1' & a_2' & \cdots & a_n'\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
于是开心地快速幂了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define clear(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

inline int read()
{
    int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
    while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
    if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return data * w;
}

const int maxn(1010);
int n, s, L, R, _x, Pow[10], a[maxn], Mod;

namespace $
{
    const int N(110);
    struct Matrix
    {
        int n, m, a[N][N];
        Matrix(int x, int y) : n(x), m(y) { memset(a, 0, sizeof a); }
        int *operator [] (const int &id) { return a[id]; }
        const int *operator [] (const int &id) const { return a[id]; }
    };

    Matrix operator * (const Matrix &a, const Matrix &b)
    {
        Matrix c(a.n, b.m);
        for(RG int i = 0; i < a.n; i++)
            for(RG int j = 0; j < a.m; j++)
                for(RG int k = 0; k < b.m; k++)
                    c[i][k] = (1ll * c[i][k] + 1ll * a[i][j] * b[j][k]) % Mod;
        return c;
    }

    int main()
    {
        Matrix S(1, n), T(n, n);
        for(RG int i = 0; i < n; i++) S[0][i] = a[i];
        for(RG int i = 0; i < n; i++)
        {
            int pre = (i - 1 + n) % n, suc = (i + 1) % n;
            T[i][i] = 1, T[pre][i] = L, T[suc][i] = R;
        }
        while(s)
        {
            if(s & 1) S = S * T;
            T = T * T; s >>= 1;
        }
        for(RG int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", S[0][i]);
        return 0;
    }
}

int main()
{
    Pow[0] = 1;
    for(RG int i = 1; i < 10; i++) Pow[i] = Pow[i - 1] * 10;
    n = read(), s = read(), L = read(), R = read(), _x = read();
    for(RG int i = 0; i < n; i++) a[i] = read();
    Mod = Pow[_x];
    return $::main();
}

解决

可是：

\(n \leq 1000, s \leq 2^{30}\)

\(\text{TLE}\)

但仔细看这个矩阵可以发现一个特点：它的每一行都是上一行往右移动一位得到的

不但如此，这个矩阵无论自乘多少次，都满足这个性质，所以理论上只需要维护第一行就好了

令\(k[i]\)表示矩阵第一行的第\(i\)个，那么有（假设是一个\(4 * 4\)的矩阵
\[
\begin{aligned}
k[1]'&=a[1][1]\times a[1][1] + a[1][2]\times a[2][1] + a[1][3]\times a[3][1] + a[1][4]\times a[4][1] \&=k[1]\times k[1] + k[2]\times k[4] + k[3]\times k[3] + k[4]\times k[2]
\end{aligned} \\therefore k[2] = k[1]\times k[2] + k[2]\times k[1] + k[3]\times k[4] + k[4]\times k[3]
\]
可以看出一些规律：
\[
k[x]=\sum_{(i+j-2) \% n + 1 = x} k[i] \times k[j]
\]
这样复杂度就是\(O(n^2log\;s)\)了

解决啦！！！

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define clear(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

inline int read()
{
    int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
    while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
    if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return data * w;
}

const int maxn(1010);
int n, s, L, R, _x, Mod = 1;
int S[maxn], T[maxn];

void Mul(int S[], int T[])
{
    static int c[maxn]; clear(c, 0);
    for(RG int i = 1; i <= n; i++)
        for(RG int j = 1; j <= n; j++)
            (c[(i + j - 2) % n + 1] += 1ll * S[i] * T[j] % Mod) %= Mod;
    std::copy(c + 1, c + n + 1, S + 1);
}

int main()
{
    n = read(), s = read(), L = read(), R = read(), _x = read();
    for(RG int i = 1; i <= _x; i++) Mod *= 10;
    for(RG int i = 1; i <= n; i++) S[i] = read();
    T[1] = 1, T[2] = L, T[n] = R;
    for(; s; s >>= 1, Mul(T, T)) if(s & 1) Mul(S, T);
    for(RG int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", S[i]);
    return 0;
}

总结

形如\(\begin{bmatrix}c_1&c_2&\cdots&c_{n-1}&c_n\\c_2&c_3&\cdots&c_n&c_1\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\c_n&c_1&\cdots&c_{n-2}&c_{n-1}\end{bmatrix}\)的矩阵是循环矩阵

循环矩阵的乘积仍是循环矩阵

所以我们只要维护循环矩阵的第一行

就可以\(O(n^2)\)维护循环矩阵的乘积

通过这样一些神奇的性质，我们可以降低矩阵乘法的复杂度

来出毒瘤题

Extend

可不可以\(\mathrm{FFT}\)优化循环矩阵乘法呢？？

原文地址：https://www.cnblogs.com/cj-xxz/p/10323711.html