我真的很逊，所以有错也说不定。
这篇很简，所以看不懂也说不定。
总觉得小满哥讲过这个证明，虽然身为老年健忘选手我大概是不记得什么了。。
欧拉定理：\(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (mod \ n)\) ，其中 \((a,n) = 1\)
费马小定理：\(a^{p-1} \equiv 1 \ (mod\ p)\) ，其中 \((a,p) = 1\) ，容易发现是欧拉定理的一种特殊情况。
欧拉定理证明：（同余式默认模 \(n\)）
设 \(X_1,X_2,...,X_{\varphi(n)}\) 是 \(1\) 到 \(n\) 里与 \(n\) 互质的数，容易发现它们模 \(n\) 两两不同，且余数都与 \(n\) 互质（废话，因为模了之后还是原数嘛）
然后我们发现 \(aX_1,aX_2,...,aX_{\varphi(n)}\) 好像也有如上两个性质。。
模 \(n\) 两两不同：反证，若 \(aX_i \equiv aX_j \ (mod\ n)\) ，则 \(aX_i-aX_j \equiv 0\) ，则 \(a(X_i-X_j) \equiv 0\) ，由于 \(a\) 与 \(n\) 互质 ，\(X_i-X_j\) 不可能是 \(n\) 的倍数，所以模 \(n\) 一定不为 \(0\)
余数都与 \(n\) 互质：\(a\) 与 \(n\) 互质，\(X_i\) 与 \(n\) 互质，所以 \(aX_i\) 也 与 \(n\) 互质 （这很感性理解orz）
有了这两个性质，我们就可以发现 \(aX_1,aX_2,...,aX_{\varphi(n)}\) 模 \(n\) 后一定是 \(\varphi(n)\) 个不同的与 \(n\) 互质的数，那不就肯定是 \(X_1,X_2,...,X_{\varphi(n)}\) 这个集合。
所以得到 \[X_1 \cdot X_2 ...X_{\varphi(n)} \equiv aX_1 \cdot aX_2 ...aX_{\varphi(n)}\ (mod\ n)\]
\[\Rightarrow 1 \equiv a^{\varphi(n)}\ (mod\ n)\]
\(QED.\)
原文地址：https://www.cnblogs.com/ymzqwq/p/11198749.html