【题解】方块染色(容斥原理+巧妙分类)

【题解】方块染色(容斥原理+巧妙分类)

刚开始以为是道容斥，写了这个错误程序

int main(){
      pre(1e5);
      while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        int ans=0;
        for(register int t=m,delta;t<=n;++t){
          delta=0;
          for(register int k=1,d2;k<=n/t;++k){
            d2=1ll*c(n/t,k)*(n-k*t+1)%mod*bin[n-k*t]%mod;
            if(k&1) d2=mod-d2;
            delta+=d2;
            while(delta>=mod)delta-=mod;
          }
          if((t-m)&1) delta=mod-delta;
          ans=(ans+delta)%mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
      }
      return 0;
}

这显然是错的，容斥套容斥，我不知道为什么我敢交上去(可能是对了样例)

后来我通过仔(bai)细(du)思(ti)考(jie)获得了启示

设\(dp(n)\)为\(n\)个时的方案数

假如我已经知道前面\(n-1\)的方案，现在要知道\(n\)的方案了，怎么做？

显然地，肯定有一个\(2dp(n-1)\)的贡献，意思是在后面加上一个块，什么颜色无所谓

然后我通过思(ti)考(jie)发现，可以这样分类：

• 加上去的没有作用，加不加这一块对于满足合法条件没有贡献，直接加就好了，什么颜色无所谓，所以就是\(2dp(n-1)\)
• 加上去的有作用，那就是说，整个序列只有后缀的\(m\)个元素有用，其他都是打酱油，那么先钦定后面\(m\)个都是红色，现在问题就是前面\(n-m\)个要求不能产生作用，这样才能满足我们这里的分类。

  那么就是总数-不合法呗，但是且慢，假如说我前面\(n-m\)个和后面这个\(m\)个连接在一起了，就会和加上去没有作用的那个分类重复。所以我要钦定倒数第\(m+1\)是蓝色，所以前面总共有\(2^{n-m-1}-dp(n-m-1)\)有贡献了。

  你可能会问，那可能存在一种合法方案，使得是倒数\(m+x\)个使得整个序列满足条件啊，这种方案去哪了？ 这种方案被放在了第一个分类中，因为这样的话，最后一个块什么颜色就无所谓了，少了不会使得整个序列不满足条件。

所以直接递推：
\[
dp(x)=2dp(x-1)+2^{x-m-1}-dp(x-m-1)
\]
初始条件\(dp(m)=1\)

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;
}
const int maxn=1e5+5;
const int mod=1e9+7;
int bin[maxn],dp[maxn];
int n,m;

int main(){
      for(register int t=bin[0]=1;t<=100000;++t){
        bin[t]=bin[t-1]<<1;
        while(bin[t]>=mod) bin[t]-=mod;
      }
      while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        dp[m]=1;
        for(register int t=m+1;t<=n;++t){
          dp[t]=dp[t-1]<<1;
          while(dp[t]>mod) dp[t]-=mod;
          dp[t]+=bin[t-m-1];
          while(dp[t]>mod) dp[t]-=mod;
          if(t-m-1>=m) dp[t]+=mod-dp[t-m-1];
          while(dp[t]>mod) dp[t]-=mod;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
      }
      return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/winlere/p/11415448.html