poj2728 Desert King，最优比例生成树

题意：有n个村庄，村庄在不同坐标和海拔，现在要对所有村庄供水，只要两个村庄之间有一条路即可，

建造水管距离为坐标之间的欧几里德距离（好象是叫欧几里德距离吧），费用为海拔之差

现在要求方案使得费用与距离的比值最小

很显然，这个题目是要求一棵最优比率生成树，

0-1分数规划，0-1分数规划是分数规划的一种特殊情况，分数规划适用于求解最优化问题的，对于求最大的对应解，该理论也有效

这是从网上找到的具体的最优比率生成树的方法的讲解

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概念

有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小).

这显然是一个具有现实意义的问题.

解法之一 0-1分数规划

设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.

则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m .

为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.

然后明确两个性质:

　1.  z单调递减

　　证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.

　2.  z( max(r) ) = 0

　　证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;

　　        若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大.

到了这个地步, 七窍全已打通, 喜欢二分的上二分, 喜欢Dinkelbach的就Dinkelbach.

复杂度

时间 O( O(MST) * log max(r) )

空间 O( O(MST) )

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关于分数规划的学习我找到了一篇论文，里面有讲分数规划，特别详细

算法合集之《最小割模型在信息学竞赛中的应用》

黑书上说求最小生成树有O（n）的方法，没去找

迭代+prim

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#define for0(a,b) for(a=0;a<b;++a)
#define for1(a,b) for(a=1;a<=b;++a)
#define foru(i,a,b) for(i=a;i<=b;++i)
#define ford(i,a,b) for(i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000 + 5;
const int maxm = 100005;
const int INF = 1e9;

double x[maxn], y[maxn], z[maxn];
double cost[maxn][maxn], dist[maxn][maxn];
int n;
double Dist(int i, int j)
{
    return sqrt( (x[i]-x[j])*(x[i]-x[j]) + (y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]) );
}

void init()
{
    int i, j;
    for1(i,n) scanf("%lf%lf%lf", &x[i], &y[i], &z[i]);
    for1(i,n) foru(j,i+1,n){
        dist[i][j] = dist[j][i] = Dist(i, j);
        cost[i][j] = cost[j][i] = fabs(z[i] - z[j]);
    }
}

    int vis[maxn], pre[maxn];
    double dis[maxn];
double prim(double p)
{
    int i, j;
    memset(vis, 0, sizeof vis ); vis[1] = 1;
    foru(i,2,n) {
        dis[i] = cost[1][i]-dist[1][i]*p;
        pre[i] = 1;
    }

    double Cost = 0, Len = 0;
    for0(i,n-1){
        double Mincost = INF;
        int k = -1;
        for1(j,n){
            if(!vis[j] && dis[j]<Mincost){
                Mincost = dis[k=j];
            }
        }
        if(k==-1) break;
        vis[k] = 1;
        Cost += cost[pre[k]][k];
        Len += dist[pre[k]][k];
        for1(j,n){
            double tmp = cost[k][j] - dist[k][j]*p;
            if(!vis[j]&&dis[j]>tmp){
                dis[j] = tmp;
                pre[j] = k;
            }
        }
    }
    return Cost / Len;
}

void solve()
{
    //牛顿迭代
    double x0=0, x=0;
    while(true){
        x = prim(x0);
        if(fabs(x-x0)<1e-4) break;
        x0 = x;
    }
    printf("%.3f\n", x);
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.cpp","r",stdin);
    freopen("out.cpp", "w", stdout);
#endif // ONLINE_JUDGE
    int i, j;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        if(n==0) break;
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}