这篇论文介绍了一种名叫 Wasserstein GAN（WGAN）的全新算法，这是一种可替代标准生成对抗网络（GAN）的训练方法。这项研究没有应用传统 GAN 所用的那种 minimax 形式，而是基于一种名为“Wasserstein 距离”的新型距离指标做了某些修改。
这是基于 MLP 生成器的 WGAN（左上图）和 GAN（右上图）生成的样本，很显然，这里 WGAN 的图像质量优于标准 GAN。
简单来说，WGAN 有两个改变。第一个是取出了判别器中的 sigmoid，这是用于计算输出均值之间的差异的。第二个改变是判别器（这篇论文称之为 Critic），这就只是一个函数，其目标是让假数据有较低的预期值，让真实数据有较高的预期值。注意这些输出不再是对数概率，这样这些损失现在就与二元交叉熵无关了。
Wasserstein GAN
近期一些 GAN 论文提出了一些不同的生成对抗训练架构。但是，这些架构的一个共同点是 f-距离（包括 KL-距离、总变差散度（total variation divergence））。f-距离是真实数据分布和生成数据分布之间的密度比 P_r(x)/P_θ(x) 的函数，非常类似于 Jenson-Shannon（JS）距离。
上式是标准 GAN 的目标。在 GAN 的训练过程中，判别器的目标是最大化上述目标（最大值为 0，最小值为负无穷）。GAN 的估计可对应于 JS 距离度量。我们再看看 f-距离。如果两个分布没有显著的重叠，我们又能做什么？如果不能，那么其概率密度比将为零或无穷，而且其对整体概率估计（比如由 (0, z) 点组成的真实数据，其中 z ~ U (0,1)）会有巨大的负面影响，于是样本就会从 y=0 到 y=1 沿垂直轴 x=0 均匀分布。但如果该模型生成样本 (θ, z)，则其分布根本不会重叠。在这种情况下，会发生梯度消失问题，会使标准 GAN 崩溃。
所以基于这一事实，这篇论文的作者提出使用 Wasserstein 距离，而不是 JS 距离。Wasserstein 距离定义为：
我们可以这样解读这一等式：首先，所有可能的配置都会被选取，假设是 P_r(x) 和 P_g(x)。然后这些点会根据这两个分布来配对。在那之后，它会计算每组配置中配对的平均距离。这里的 inf 可以被视为最小值，这样最后它将从所有可能的配对配置中选择出最小的平均距离。这篇论文提出使用这一距离度量来替代 f-距离，这样它就不再是密度比的函数的。通过这种方式，即使两个分布没有重叠，Wasserstein 距离也仍然可以描述它们相距多远，并且通过这种方式能从根本上解决梯度消失问题。
由于初始的 Wasserstein 距离定义具有难以解决的计算复杂性，所以研究者使用了一种替代定义：
这会导致 Kantorovich-Rubinstein二元性。
值得注意的是，当且仅当 f(x) 的梯度的幅度由 K 在该空间的所有部分设定了上界时，f(x) 是 K-Lipschitz。这篇论文通过将权重限制在一定范围内，使用网络来近似建模 K-Lipschitz。这里的上界可以被视为是一个最大值（二元表达式）。理论上，其目标是寻找到一个 critic 函数，以最大化真实样本均值和伪造样本均值之间余量。
WGAN 算法
上面描述了 Wasserstein 生成对抗网络（WGAN）算法。经过前面的知识介绍之后，这个算法看起来就更简单一些了。总结如下：
- 更新 Critic n 次迭代，之后更新生成器；
- 对于 Critic 的每次迭代，基于 Wasserstein 距离更新梯度，然后剪切权重；
- 使用 RMSProp；
- 像普通 GAN 那样更新生成器。
下面给出了实现 WGAN 算法的代码示例：
# (1) update Critic Network
for p in netD.parameters():
p.requires_grad = True
netD.zero_grad()
# train with real
real_cpu, _ = data
netD.zero_grad()
batch_size = real_cpu.size(0)
input.data.resize_(real_cpu.size()).copy_(real_cpu)
errD_real = netD(input)
errD_real.backward(one)
# train with fake
noise.data.resize_(batch_size, nz, 1, 1)
noise.data.normal_(0, 1)
fake = netG(noise)
input.data.copy_(fake.data)
errD_fake = netD(input)
errD_fake.backward(mone)
errD = errD_real - errD_fake
optimizerD.step()
# (2) Update G network
for p in netD.parameters():
p.requires_grad = False # to avoid computation
netG.zero_grad()
noise.data.resize_(opt.batchSize, nz, 1, 1)
noise.data.normal_(0, 1)
fake = netG(noise)
errG = netD(fake)
errG.backward(one)
optimizerG.step()
实证实验
研究者使用 Wasserstein GAN 进行了一些定量实验，并且表明相比于标准 GAN，使用 WGAN有显著的实际好处。
他们提到了两个优势：
- WGAN 的损失表现出了收敛的特性。
如上所示，上图为 WGAN，下图为标准 GAN。对于 WGAN，随着损失快速下降，样本质量也会增长。相比于 WGAN，标准 GAN 算法的误差曲线是不稳定的，甚至会增大。
- 优化过程的稳定性提升。
上图是使用无批归一化的该算法得到的生成器的结果。左上基于 WGAN 算法，右上基于标准 GAN 算法。标准 GAN 不能学习的地方，WGAN 依然能稳定地生成合理的样本。
分析师简评
这篇论文提出了一种名为 Wasserstein GAN 的新型生成对抗网络。它从理论上向我们说明了已有的 GAN 模型失败的原因以及 WGAN 有效的原因。相比于 DCGAN 等标准 GAN，这篇论文表明即使没有批归一化，WGAN 也能稳定地训练。但也仍然存在一些值得关注的地方。首先，在更新生成器之前他们更新了 critic n 次迭代，这意味着 critic 的迭代次数仍是人工调节的。是否存在优化两者的更好方法呢？第二，WGAN 在非常深度的网络上的泛化情况如何，比如 152 层的残差网络？第三，他们限制了权重的范围以确保 Lipschitz 连续性，但是否存在建模这种情况的方法？最后，生成对抗训练能否用于词预测等 NLP 任务，同时还能保持稳定性？
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