题意: 给定\(n,m,p\),求 \[ \sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^m\frac{\varphi(ab)}{\varphi(a)\varphi(b)}\mod p \] 思路: 由欧拉函数性质可得:\(x,y\)互质则\(\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\):\(p\)是质数则\(\varphi(p^a)=(p-1)^{a-1}\).因此,由上述两条性质,我们可以吧\(a,b\)质因数分解得到 \[ \begin{aligned} \sum_{

[题目链接]:click here~~ [题目大意]: 给出一个整数n,求一个数x,x在1到n之间,并且x/φ(x)最大(其中φ(x)为x的欧拉函数). [思路]: 由欧拉函数为积性函数,即:如果 则有: 且: 则有: 要使f(x)最大,须使x含尽量多的不同素数因子. 代码: /* * Problem: HDU No.4002 * Running time: 1700MS * Complier: java * Author: javaherongwei * Create Time: 0:08 2

在学习快速幂的过程中,我们曾遇到过因子和函数σ(n),曾提及该函数是积性函数,不过当时并没有给出证明.在这篇文章中,我们将针对数论中的积性函数问题,讨论更多的模型. 首先我们先给出一些定义. 定义1:定义在所有正整数上的函数成为算数函数. 定义2:算术函数f如果满足对于任意两个互素的正整数m.n,均由f(mn) = f(m)f(n),就称其为积性函数.如果对于任意的m.n满足上述性质,则称其为完全积性函数. 下面我们基于此来讨论欧拉函数φ(n). 首先,该函数的含义表示不超过n且与n互素的正整数

[参考] ★浅谈一类积性函数的前缀和 by skywalkert 任之洲数论函数.pdf [积性函数] 积性函数的约数和,前缀和,相互卷积也是积性函数. 1.f(1)=1. 2.性质一:对于n=∏pi^ki,有f(n)=∏f(pi^ki) 性质二:对于完全积性函数,还有f(n)=∏f(pi)^ki以及f(n^k)=f(n)^k 常见的积性函数: 1.d(n)=Σd|n1,表示n的因子个数,即d=i*i 2.σ(n)=Σd|nd,表示n的因子和,即σ=i*id 3.i(n)=1,恒等函数 4.id

前言 最近在学习一些玄学的数学知识(如莫比乌斯反演和杜教筛)时,我发现自己对于一些数学的理论知识了解得还不够多(不像\(XRY\)奆佬一样初一就把大学数学学完了),于是决定好好去学习一下这面的知识. 例如关于积性函数的知识,就是比较重要的一块内容. 定义 什么是积性函数? 其实它的定义还是很好理解的:若对于一个数论函数\(f(x)\),已知\(f(x)=1\),且对于任意互质的正整数\(p,q\)都满足\(f(pq)=f(p)f(q)\),则称该函数\(f(x)\)为一个积性函数. 这么说来,貌

简单整理推导加代码,留复习用. 线性筛素数 最简单也最基础,直接看代码就好了\(--\) code: void Euler_Phi_Prime(int n) { is_prime[1] = true; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (!is_prime[i]) prime[++cnt] = i; for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) { is_prime[i * pri

如果定义在正整数集上的函数 $f(n)$ 满足对于任意一对互素正整数 $n, m$ 都有 $f(n)f(m)=f(nm)$, 那么 $f$ 就叫做积性函数. 积性函数又可以表示为,假设 $n$ 的素因子分解式为 $n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}$, 那么 $f(n)=\prod_{i=1}^mg(p_i, c_i)$. 本文讨论的函数满足:$g(p, c)$ 能够快速求单点值,且 $g(x, 1)$ 是关于 $x$ 的低次多项式. 积性函数求和,就是要求出 $\sum_{n=1

题意很简单,求sum(gcd(i,n))   1<=i<=n; 这题看到后第一反应并没有里用积性函数的性质,不过也可以做,欣慰的是我反应还是比较快的 设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+....+gcd(n-1,n) + gcd(n,n), 用g(n,i)表示满足 gcd(x,n)=i的 x的个数 (x小于n),则 f(n)=sum{i*g(n,i)}; 同时又利用 扩展欧几里德的性质  gcd(x,n)=i  的充要条件是 gcd(x/i,n/i)==1,所以 满足 x/i的解有

题意: 求f(n)=∑gcd(i, N) 1<=i <=N. 分析: f(n)是积性的数论上有证明(f(n)=sigma{1<=i<=N} gcd(i,N) = sigma{d | n}phi(n / d) * d ,后者是积性函数),能够这么解释:当d是n的因子时,设1至n内有a1,a2,..ak满足gcd(n,ai)==d,那么d这个因子贡献是d*k,接下来证明k=phi(n/d):设gcd(x,n)==d,那么gcd(x/d,n/d)==1,所以满足条件的x/d数目为phi(