\(\fbox{例1}\)【用具体函数做个引例】
如，解不等式\(log_2(3x+1)>log_2(1-2x)\)，
分析：由于我们是借助函数\(y=log_2x\)的单调性来解不等式，
则需要先考虑定义域，以保证让不等式的两端都有意义，
故利用函数的定义域和单调性，可以等价转化得到不等式组：
\(\left\{\begin{array}{l}{3x+1>0}\\{1-2x>0}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)
解得，解集为\((0，\cfrac{1}{2})\)。
\(\fbox{例2}\)【引入抽象函数】
已知函数\(f(x)\)的定义域为\((0，+\infty)\)，且单调递增，求解不等式\(f(3x+1)>f(1-2x)\)，
分析：如果我们要给本题目的抽象函数找一个依托，那么
\(y=log_2x\)绝对是个比较好的例子，
故碰到这样的题目，我们需要考虑定义域和单调性，
可以等价转化为\(\left\{\begin{array}{l}{3x+1>0}\\{1-2x>0}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)
解得，解集为\((0，\cfrac{1}{2})\)。
\(\fbox{例3}\)【增加难度，抽象函数】
已知奇函数\(f(x)\)的定义域为\([-2，2]\)，且在区间\([0，2]\)单调递增，求解不等式\(f(3x+1)>f(1-2x)\)，
分析：由区间\([0，2]\)单调递增，和奇函数可知，则函数在区间\([-2，0]\)上单调递增，
故函数\(f(x)\)在区间\([-2，2]\)单调递增，
再由定义域和单调性可知
\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leq 3x+1\leq 2}\\{-2\leq 1-2x\leq 2}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)
解集，略。
说明：定义域上的单调性没有直接给出，需要我们借助奇偶性自行推导。
\(\fbox{例4}\)【增加难度，抽象函数】
已知奇函数\(f(x)\)的定义域为\([-2，2]\)，且在区间\([-2，2]\)单调递增，求解不等式\(f(3x+1)+f(2x-1)>0\)，
分析：先将不等式转化为\(f(3x+1)>-f(2x-1)\)，
由于函数\(f(x)\)为奇函数，则\(-f(2x-1)=f[-(2x-1)]=f(1-2x)\)，
则上述不等式再次转化为\(f(3x+1)>f(1-2x)\)，
再由定义域和单调性可知，原不等式等价于
\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leq 3x+1\leq 2}\\{-2\leq 1-2x\leq 2}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)
解集，略。
说明：给出的不等式需要我们结合奇偶性，转化为\(f(M)>f(N)\)的形式，以便于能利用单调性。
\(\fbox{例4}\)【综合题】
已知函数\(f(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x-\cfrac{1}{a^x})(x\in R，a>0，a\neq 1)\)
（1）求函数\(f(x)\)的单调性；
（2）若\(f(1-m)+f(1-m^2)<0\)，求实数\(m\)的取值范围；
分析：我们先分析函数中的部分，\(g(x)=a^x-\cfrac{1}{a^x}=a^x-a^{-x}\)，
故\(g(-x)=-g(x)\)，即函数\(g(x)\)为奇函数，故求解如下，
（1）\(f(x)=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(x)\)，
则\(f(-x)=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(-x)=-\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(x)=-f(x)\)，
即函数\(f(x)\)为奇函数，我们先重点分析\(x\in [0，+\infty)\)上的单调性，
①当\(a>1\)时，\(a^2-1>0\)，则\(\cfrac{a}{a^2-1}>0\)，\(lna>0\)
\(f'(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x\cdot lna-a^{-x}\cdot (-x)'\cdot lna)\)
\(=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot lna\cdot (a^x+a^{-x})>0\)，
则函数\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，
由函数为奇函数，则可知\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；
②当\(0<a<1\)时，\(a^2-1<0\)，则\(\cfrac{a}{a^2-1}<0\)，\(lna<0\)
\(f'(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x\cdot lna-a^{-x}\cdot (-x)'\cdot lna)\)
\(=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot lna\cdot (a^x+a^{-x})>0\)，
则函数\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，
由函数为奇函数，则可知\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；
综上可知，不论\(a\)为何值，函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；
（2）先将不等式转化为\(f(1-m)<-f(1-m^2)\)，
又函数\(f(x)\)为奇函数，则\(-f(1-m^2)=f(m^2-1)\)，
则\(f(1-m)<f(m^2-1)\)，
由单调性可知，\(1-m<m^2-1\)，
即\(m^2+m-2>0\)，
故所求取值范围为\((-\infty，-2)\cup(1，+\infty)\)。
原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9613192.html