算法学习-第0篇 从Fibonacci开始

学习资源《Algorithms》，作者S.Dasgupta，C.H.Papadimitriou，and U.V.Vazirani。

电子版可到资源库中下载http://download.csdn.net/detail/segen_jaa/7900765。

1、问题描述

Fibonacci数列想必大家都比较熟悉，后一位数字是前两位的和。

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34

对应公式如下。

求第n位的Fibonacci数为多少？

2、迭代算法

实现语言：C语言。

win32程序下，计算Fibonacci数。

45位:1134903170

46位:1836311903

47位:-1323752223

计算到第47位long型已经不支持，故测试程序约定在50位以内。

#include "stdafx.h"
#define MAX_NUM 50

long fib1(int n)
{
	if (0 == n) return 0;
	if (1 == n) return 1;

	return fib1(n-1)+fib1(n-2);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	while(true)
	{
		int input = 0;
		printf("please input fibonacci number:");
		scanf("%d", &input);

		if (input>MAX_NUM)
		{
			printf("please input number less than %d", MAX_NUM);
			continue;
		}

		if (input<0)
		{
			break;
		}

		int result1 = fib1(input);
		printf("fib1 result:%d\n", result1);
	}

	return 0;
}

3、迭代算法分析

三个问题

①算法是否正确？

②算法复杂度多少？

③算法能否改进？

对应回答：

①实现完全按照定义公式，正确性没有疑问。

②看到递归，大家应该都知道了，这个算法时间复杂度有点高。

一次加减操作复杂度都为1，那么T(n)=T(n-1)+T(n-2)+3。

经过计算T(n)值≈

出现指数计算法，那么这个算法可以宣告失败了。这意味着计算机性能每提高1.6倍，只往前多计算出一位。

在这种算法下，大家可以在自己机器上试一下计算要多久。本机cpu i7测试，推算第50位接近1小时时间。如果要同样时间计算出第51位，只能等到i8、i9了。

③若要对算法进行改进，则首先分析为何复杂度如此高。

递归调用的过程如下。

可以看到同一个数被重复计算了多次。以F(n-3)为例，在下图中被计算了三次。那么我们的改进思路就从这里入手，已计算过的数字就缓存起来。

4、改进算法

#include "stdafx.h"
#define MAX_NUM 50

long fib2(int n)
{
	long array[MAX_NUM];
	array[0] = 0;
	array[1] = 1;

	for (int i=2; i<=n; ++i)
	{
		array[i] = array[i-1]+array[i-2];
	}

	return array[n];
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	while(true)
	{
		int input = 0;
		printf("please input fibonacci number:");
		scanf("%d", &input);

		if (input>MAX_NUM)
		{
			printf("please input number less than %d", MAX_NUM);
			continue;
		}

		if (input<0)
		{
			break;
		}

		int result2 = fib2(input);
		printf("fib2 result:%d\n", result2);
	}

	return 0;
}

同样的问题

①算法是否正确？

答：正确。

②算法复杂度多少？

答：复杂度O(n)。

③算法能否改进？

答：性能已为线性，可不再改进。