关于正交阵与实对称正交阵的专题讨论

正交阵

$\bf命题：$设$A,B$为$n$阶实正交阵，且$\det \left( {A + B} \right) = \det \left( A \right) -\det \left( B \right)$，证明：$\det \left( A \right) = \det \left( B \right)$

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$\bf命题：$设$A,B$为$n$阶正交阵，则$n-r(A+B)$为偶数当且仅当$\det \left( A \right) = \det \left( B \right)$

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$\bf命题：$设$A$为一个$n$阶非零实矩阵，若${A_{ij}} = {a_{ij}}$，则$A$为正交阵且$\left| A \right| = 1$

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$\bf命题：$设$A$为$n$阶实对称阵，若${A^k} = E$，则$A$为正交阵

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$\bf命题：$设$A$为$n$阶正交阵，$A{x_i} = {x_i}\left( {i = 1,2, \cdots ,n - 1} \right)$，且${x_1}, \cdots ,{x_{n - 1}}$线性无关，$\left| A \right| = 1$，求$A$

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$\bf命题：$设$A$为$n$阶正交阵，则$r\left( {A - E} \right) = r{\left( {A - E} \right)^2}$

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$(02川大六)$设$A,B$均为$n$阶实正交阵，$t$为矩阵${A^{ - 1}}B$的特征值$-1$的重数，证明：

(1)$|AB|=1$当且仅当$t$为偶数   (2)$r(A+B)=n-t$

实对称正交阵

$\bf(07华师四)$设$A$为实矩阵，证明：若下面三条中任意两条成立，则另一条也成立

(1)$A$为正交阵   (2)$A$为对称阵   (3)${A^2} = E$

$\bf(12首都师大十)$设$A$为$n$阶实对称正交阵，证明：存在整数$m$，使得$tr(A)=n-2m$

$\bf(11中南四)$设$A$为$n$阶实对称正交阵，且$1$为$A$的$r$重特征值

(1)求$A$的相似对角阵   (2)求$|3E-A|$