九章算法面试题38 洗牌的技巧

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题目

有一副扑克有2n张牌，用1,2,..2*n代表每一张牌，一次洗牌会把牌分成两堆，1,2..n和n+1...2n。然后再交叉的洗在一起：n+1, 1, n+2, 2, … n, 2n。问按照这种技巧洗牌，洗多少次能够洗回扑克最初的状态：1,2,...2n。

解答

以1 2 3 4 5 6为例，洗一次之后为4 1 5 2 6 3 。将两排数组对比看：

1 2 3 4 5 6

4 1 5 2 6 3

数字1的下面是4，代表每一次洗牌后1这个位置的数会被4这个位置的数替代，接着看数字4，4下面是2，代表每一次洗牌后4这个位置的数会被2替代，再看2，2下面是1，2这个位置的数字会被1替代。此时，1 4 2形成一个环，代表这三个位置上的数再每一次洗牌后，循环交替，并且在洗3次以后，各自回到最初的位置。用同样的方法可以找到3 5 6是一个循环，循环节长度为3。由此可以知道，在经过了LCM(3,3)=3次洗牌后，所有数都回到原位，这里LCM是最小公倍数的意思。于是算法为，根据一次洗牌的结果，找到所有的循环节，答案为所有循环节长度的最小公倍数。

面试官角度

这个题目的考察点在于找规律。不过如果有一定置换群的理论基础的同学，是可以比较轻松的解决这个问题的。有兴趣的同学可以查看离散数学的相关书籍中置换群的知识点。