Sequence

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Problem Description

Today, Soda has learned a sequence whose
n-th(n≥1)
item is 3n(n?1)+1.
Now he wants to know if an integer m
can be represented as the sum of some items of that sequence. If possible, what are the minimum items needed?

For example, 22=19+1+1+1=7+7+7+1.

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integerT(1≤T≤104),
indicating the number of test cases. For each test case:

There‘s a line containing an integer m(1≤m≤109).

Output

For each test case, output
?1
if m
cannot be represented as the sum of some items of that sequence, otherwise output the minimum items needed.

Sample Input

10
1
2
3
4
5
6
7
8
22
10

Sample Output

1
2
3
4
5
6
1
2
4
4

题意，给出一个数列3n(n?1)+1，再给一个任意一个数m，要求最少能用多少个数列中的数之和为m

给出一个规律：n*(n-1)/2是三角形数，任何一个自然数可用最多三个三角形数拼成，这个规律得知道，才可以解出这题。

把上式变形得到6*(n * (n-1)/2) + 1;如果，m是由k个数组成，那m不就可以表示成6 * (k个三角形数之和） + k这样的形式了。k个三角形数之和，如果k>

=3,那么，由上面的规律，我们可以马上知道，这样的数肯定是存在的。k = 1 k = 2,要分开讨论。k = 1时，只需要二分找出是数列中的一个数就可以了。

k = 2时，找出 pri[i] + pri[j] = m(pri是给出的数列)，这样的i,j是否存在， 一种方法，枚举i,得到m - pri[i] 判定是否在pri中，这样的复杂度是o(n * log(n)),

n是这个数列的个数。显然复杂度太高，我们知道，pri这个数列是递增的，我们可以用这个性质，i = 0 ,j = prilen -1;如果pri[i] + pri[j] > m;j--;否则i++;这

样，一定可以找出来是否和为m且复杂度只能o(n),这样才能过这题。由于i 只会加n次，j也只会减n次，所以总的复杂度为o(N)

为什么这样是对的呢，其实很简单，假设pri[ii]  + pri[jj] = m，这样的方法，会不会，没找到ii,jj呢，不会，

初始 i < ii j>jj;如果pri[i] + pri[j] < m i++,否则j--,

1.假如，i先到达ii,此时，j > jj,pri[i] + pri[j] > pri[ii] + pri[jj] = m ;所以j--,最终一定会是，j = jj;

2.假如，j先到达jj,此时，i < ii,pri[i] + pri[j] < pri[ii] + pri[jj] = m ;所以i++,最终一定会是，i = ii;

所以不管怎么样，一定会找到答案。

#define N 205
#define M 100005
#define maxn 205
#define MOD 1000000000
int n,glen,len,pn,m,pri[M];
set<int> myset;
set<int>::iterator it;
bool solve1(int mm){
    return myset.count(mm);
}
bool solve2(int mm){
    for(int i = 0,j = pn -1;i< pn && pri[i] <= mm;i++){
        while(j>= 0 && pri[i] + pri[j] > mm)j--;
        if(j>=0 && pri[i] + pri[j] == mm) return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    pn = 0;
    for(int i = 1;i< M -1 ;i++){
        int t = 3 * i * (i-1) + 1;
        if(t <= MOD){
            pri[pn++] = t;
            myset.insert(t);
        }
        else break;
    }
    while(S(n)!=EOF)
    {
        while(n--){
            S(m);
            if(m%6 == 1){
                if(solve1(m))
                    printf("1\n");
                else
                    printf("7\n");
                continue;
            }
            else if(m%6 == 2)
            {
                if(solve2(m))
                    printf("2\n");
                else
                    printf("8\n");
                continue;
            }
            else
                printf("%d\n",(m - 1)%6 + 1);
        }
    }
    return 0;
}

Source

BestCoder 1st Anniversary ($)

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