题面

【问题描述】

CJ中学组织学生出去春游，作为学神的RHL自然不会放过这一大好时机，他有n种物品，第i件物品有c[i]个，每个体积为v[i]，价值为w[i]，RHL现在有一个体积为V的背包，他想让他带的东西价值之和最大，且体积之和不超过V，你能帮帮他吗？注意物体不能分割。

【输入】

输入文件名为bag.in，分为若干行。第一行包含两个正整数n,V。

第二行到第n+1行分别描述第i种物品的数量c[i],体积v[i],价值w[i]

【输出】

输出文件名为bag.out，一行输出一个整数，表示最大价值。

【输入输出样例】

bag.in

5 50

1 1 7

2 1 4

2 4 1

3 1 3

2 3 8

bag.out

42

【数据说明】

30%的数据满足n<=5,<=10,V<=100;

50%的数据满足n<=100,<=1000,V<=1000;

100%的数据满足n<=100,1<=c[i]<=10^5,1<=v[i]<=V<=10^4,1<=w[i]<=10^9

题解

方法1

分析

多重背包，数据很水，全是随机，DP裸过

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long f[10000001]={0},n,V,v[1001],w[1001],c[1001];
int main()
{
    freopen("bag.in","r",stdin);
    freopen("bag.out","w",stdout);
    cin>>n>>V;
    for (int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i]>>v[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
      for (int j=V;j>=w[i];j--)
        for (int k=0;k<=min(c[i],j/w[i]);k++)
          f[j]=max(f[j-k*w[i]]+k*v[i],f[j]);
    cout<<f[V];
    return 0;
}

方法2

分析

如果出题人有意卡的话

——如所有物品体积为1，有很多个，背包容积很大

这个算法会爆

于是做优化处理

我们考虑1<=c[i]<=10^5

转换成二进制数在17位以内

我们可以把c[i]件物品拆分成最多17件，

按二进制位拆分

如15143个物品/(11101100100111)2拆成

(10000000000000)2=8192

(1000000000000)2=4096

(100000000000)2=2048

(1000000000)2=512

(100000000)2=256

(100000)2=32

(100)2=4

(10)2=2

(1)2=1

合起来正好为15143个

这样就转化为了01背包

复杂度O(NVlog2c[i])

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M 2505
#define MaxV 10005
#define LL long long
#define oo (1<<30)
#ifdef WIN32
#define TAT "%I64d"
#else
#define TAT "%lld"
#endif
using namespace std;
LL f[MaxV],wm[M],ans=0;
int n,m,V,c[N],v[N],w[N],vm[M];
int main()
{
    int i,j;
    freopen("bag.in","r",stdin);
    freopen("bag.out","w",stdout);
    scanf("%d %d",&n,&V);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d %d %d",&c[i],&v[i],&w[i]);
        for(j=1;(j<<1)<=c[i];j<<=1)
            vm[++m]=j*v[i],wm[m]=1LL*j*w[i];
      vm[++m]=(c[i]-j+1)*v[i];
        wm[m]=1LL*(c[i]-j+1)*w[i];
      }
    for(i=1;i<=m;i++)
        for(j=V;j>=vm[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-vm[i]]+wm[i]);
    for(i=0;i<=V;i++)
        ans=max(ans,f[i]);
    printf(TAT,ans);
    return 0;
}

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