二叉树

介绍二叉堆之前首先介绍二叉树。二叉树有一个根节点，节点下又有两个子节点。完全二叉树是指一个二叉树树除了最底层，其他层都是完全平衡的。

完全二叉树最基本的性质就是它的高度是 floor(lgN)。

二叉堆

二叉堆是完全二叉树的一种，每个节点对应一个数值，而且这个数值都大于等于它子节点的数值。

下图是一个二叉堆。

二叉堆的储存

由于二叉堆是完全二叉树，所以它可以用一个数组进行储存。所以不需要创建节点对象，再建立节点之间的连接。这样节省了很多开销。

用数组a[]表示一个二叉堆有以下特性：

• a[0]不表示任何数据，这样后续的计算就简化了很多
• a[1]是根节点
• a[2]a[3]是二叉树第一层的两个节点
• a[4]a[5]a[6]a[7]是二叉树的第二层节点

以此类推

下图展示了堆的数据结构用数组进行表示的示意图。

二叉堆的访问

二叉堆有以下访问规则：

• 二叉堆的根就是a[1]，也是最大的一个元素。
• 在a[k]位置的节点，其父节点为k/2
• 在a[k]位置的节点，其子节点分别为2k和2k+1

二叉树的操作

二叉堆中每个子节点都不能比它的父节点大，然而在修改二叉树之后往往会违反二叉树的性质。

Swim操作

当二叉树的子节点比父节点大时，怎么办呢？没关系，只要按照以下步骤进行就行了：

1. 将违反规则的节点与父节点进行交换
2. 重复第一步，直到所有的节点都二叉堆的性质为止

该操作称为swim操作

Sink操作

当二叉树的父节点比任意一个子节点小时，怎么办呢？没关系，只要按照以下步骤进行就行了：

1. 将违反规则的子节点与两个子节点中较大的子节点进行交换
2. 重复第一步，直到符合二叉堆的性质为止

该操作称为sink操作

删除操作

从堆中删除最大的元素，需要执行以下步骤：

• 将最小的元素与根节点进行交换
• 对根节点执行sink操作，将最小的节点沉淀到二叉堆的最底部

这样，删除操作最多需要2lgN次比较

复杂度

二元堆的插入操作复杂度是logN，删除操作的复杂度是logN。

d元堆的插入操作复杂度是log_d(N)，删除操作的复杂度是d log_d(N)。

斐波那契堆的插入操作复杂度是1，删除操作平均复杂度是logN。

不变性

对于二叉堆，需要保元素自身不会发生变化，这样才能保证二叉堆的算法能够正常工作。

因此，在Java中，二叉堆的数据类型尽量选择不可变的数据类型。所谓不可变的类型就是指当对象创建完毕之后，对象中的内容就无法再改变了。

java中不可变的类型有String Integer Double Color Vector Transaction Point2D。

可变的类型有StringBuilder Stack Counter Java数组。

不可变类型的好处就是能确保优先级队列能够正常工作，坏处就是每次有新值的时候都要创建一个新的对象，造成额外的开销。

代码

// 用二叉堆实现的最大优先级队列
public class MaxHeapPQ<Item extends Comparable<Item>> {
    private Item[] items;
    private int N;

    public MaxHeapPQ(int capacity) {
        items = (Item[])new Comparable[capacity+1]; //capacity+1是因为a[0]不储存任何数据，所以需要额外的一个元素。
    }

    public boolean isEmpty() {
        return N==0;
    }

    public void insert(Item item) {
        N++;
        items[N] = item;
        swim(N);
    }

    public Item popMax() {
        Item result = items[1];
        SortUtil.exch(items, N, 1);
        items[N] = null; // 防止产生游离对象造成内存泄露
        N--;
        sink(1);
        return result;
    }

    public int size() {
        return N;
    }

    private void swim(int k) {
        // 一直循环直到到达根节点
        while(k > 1) {
            Item child = items[k];
            Item parent = items[k/2];

            // 如果父节点比子节点还小，就将父子进行交换
            if(SortUtil.less(parent, child)) {
                SortUtil.exch(items, k, k/2);
                k /= 2;
            } else {
                break;
            }
        }
    }

    private void sink(int k) {
        // 一直循环直到没有子节点
        while(k*2 <= N) {
            int parent = k;
            int child1 = k*2;
            int child2 = k*2+1;

            // 如果父节点比任意一个子节点小
            if(less(parent, child1) || less(parent, child2)) { // 注意：这里不能用SortUtil.less进行比较，因为空值也要进行比较
                // 选出较大的子节点
                int greater;
                if(less(child1, child2)) { // 注意：这里child1和child2位置不要写反了
                    greater = child2;
                } else {
                    greater = child1;
                }

                // 将较大的子节点与父节点交换
                SortUtil.exch(items, greater, parent);

                // 准备下一次循环
                k = greater;
            } else {
                break;
            }
        }
    }

    // 判断是否小于。将null值看成无穷小
    private boolean less(int a, int b) {
        if(a > N) return true;
        if(b > N) return false;
        return SortUtil.less(items[a], items[b]);
    }

    private void debugPrint() {
        for(int i=0;i<N;i++){
            System.out.print(items[i+1]);
            System.out.print(" ");
        }
        System.out.println();
    }
}

普林斯顿公开课 算法4-2：二叉堆