卡特兰数通项公式在TAOCP里的推导

卡特兰数的一般项公式为：

至于怎么推导，《计算机程序设计艺术（卷一）》2.2.1节习题4的解答提到的精彩解法“反射原理”，下面是对其的概括：三国真人娱乐城

问题大意是用S表示入栈，X表示出栈，那么合法的序列有多少个(S的个数为n)。

显然有c(2n, n)个含S，X各n个的序列，剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X，但是违背其它条件)。

在任何不允许的序列中，定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置。然后在导致并包括这个X的部分序列中，以S代替所有的X并以X代表所有的S。结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列。反过来，对一垢一种类型的每个序列，我们都能逆转这个过程，而且找出导致它的前一种类型的不允许序列。例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS。这个对应说明，不允许的序列的个数是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。

具体可以看看TAOCP的原练习题：

这里翻书确认了一下Knuth援引的卡特兰数通项的证明方法，有兴趣可以自己研究一下。