前缀和分一维前缀和和二维前缀和,前缀和可以帮我们快速统计一段范围内的合。
需要简单的理解
一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795. 前缀和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i];
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1];
二维前缀和 —— 模板题 AcWing 796. 子矩阵的和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为:
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1];
差分需要一定的理解。
/*
给定原数组a[1],a[2],...a[n],构造差分数组b[N],使得a[i] = b[1] + b[2]+ ...b[i],一般假定初始全为0,用insert(i, i, a[i])即可构造出b[N]
核心操作:将a[L~R]全部加上C,等价于:b[L] += C, b[R + 1] -= C*/重点
#include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int n, m; int a[N], b[N]; // b为a的差分 // a数组中[l, r]区间内都加上c void insert(int l, int r, int c) { b[l] += c; b[r + 1] -= c; } int main() { cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); insert(i, i, a[i]); } while (m--) { int l, r, c; scanf("%d%d%d", &l, &r, &c); insert(l, r, c); } for (int i = 1; i <= n; i++) { b[i] += b[i - 1]; printf("%d ", b[i]); } return 0; }
二维的差分更难理解。慢慢来吧~
前缀和差分是2个互逆的运算,假设最开始的数组是a[i], 则前缀和数组sum[i]表示从a[1]+..+a[i];而差分数组b[1]+…+b[i]则表示a[i],即a[i]是差分数组b[i]的前缀和;
所以b[i][j]表示 b[1][1]+…+b[i][j]从图上刚好构成一个矩阵,
所以当a[i][j]+c,从b数组构成的矩阵上来看就是b[i][j]这一个小矩阵加上c,画出图之后比较容易可以看出公式为:b[i][j] += c, b[i + 1][j] -= c, b[i][j + 1] -= c, b[i + 1][j + 1] += c;
中间可以并在一起写,但是为了方便初学者刚学,还是分开输入输出一步一步来暗部就按比较容易理解。
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; const int maxn = 1e3 + 40; int a[maxn][maxn], b[maxn][maxn]; inline void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) { b[x1][y1] += c; b[x2 + 1][y1] -= c; b[x1][y2 + 1] -= c; b[x2 + 1][y2 + 1] += c; } int main(void) { int n, m, q; scanf("%d%d%d", &n, &m, &q); for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) scanf("%d", &a[i][j]); for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) insert(i, j, i, j, a[i][j]); for(int i = 1; i <= q; i++) { int x1, y1, x2, y2, c; scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c); insert(x1, y1, x2, y2, c); } for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) if(j == m) printf("%d\n", b[i][j]); else printf("%d ", b[i][j]); return 0; }
原文地址:https://www.cnblogs.com/zyz010206/p/12334169.html