转自http://blog.csdn.net/houserabbit/article/details/41513745
题解写的真棒。。
题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/487/C
题目大意：构造一个1~n的排列 使得n个前缀积对n取余是一个0~n-1的排列
题目分析：好题，首先我们通过简单的分析可以得到n肯定是最后一个数，因为如果n在前面，前缀积肯定不止1个是n的倍数，也就是说对n取模至少有两个0，显然不满足排列，也就是说取模得到排列最后一个数是0，再来考虑前n－1个数，如果就是1 2 3 4...n-1是不是满足条件呢，显然第一个数就让它是1，是始终正确的，我们已经构造出来两个数了再来看中间的，对于一组序列a1 a2 a3 a4 ... an-1，a1=1，如果a2对n取完模要前缀积及a1*a2*a3对n取模的值与a1*a2的不同，我们不妨在a3中把a2对前缀积的影响消除，后面以此类推，这时就要用到模逆元的概念。
对于正整数
和
，如果有
，那么把这个同余方程中
的最小正整数解叫做模的逆元。如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为
。推导如下：
回到本题，我们可以构造ai=(i+1)*inv[i],(inv[i]表示i的模逆元)
这样得到的前缀积a1a2a3...an-1=1*2*inv[1]*3*inv[2]*...*n*inv[n-1]因为inv[2]*2≡1(mod n)相当于前面说的消除了a2对a3的影响进一步分析，如果n是合数，则其必能表示成x*y，这里x，y是除了1和n的其他因子，因此对于前缀积(n-1)!必然能被n整除，这里有个特例4，4可以构造出1 3 2 4，原因很简单，因为4不算最后一项的前缀积为2*3显然6不能被4整除，但是比4大的最小的合数为6，6就不满足了，因为5!=2*3*4*5显然是6的倍数，当n不断扩大的时候，因子越来越多则更加能够被n整除，所以我们得到除了4以外的其他合数都无法构造出这样的序列，接下来就是怎样求模逆元的问题。
根据上面的结论了，可以用费马小定理通过快速幂取模求解模逆元，不过还有更简便的递推式
inv[i]= (n-n/i)*inv[n%i]%n，初始值inv[1]=1这个递推式的推导如下
a=n/i
b=n%i =>
a*i+b≡0(mod n) (整除部分＋余数部分就等于n) =>
-a*i≡b(mod n) (两边同除b*i) =>
-a*inv[b]≡inv[i](mod n) (将a，b替换) =>
-(n/i)*inv[n%i]≡inv[i](mod n) （将左边变为大于0的数，直接加上n即可,因为这时nmodn=0） =>
(n-n/i)*inv[n%i]≡inv[i](mod n) =>
inv[i] = (n-n/i)*inv[n%i]%n
下面给出两种解法：
1.递推式：
1 #include <cstdio>
2 #include <cmath>
3 #define ll long long
4 int const MAX = 1e5 + 10;
5 ll inv[MAX];
6 int n;
7
8 bool isprime(int x)
9 {
10 if(x == 1)
11 return false;
12 if(x == 2)
13 return true;
14 if(x % 2 == 0)
15 return false;
16 for(int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2)
17 if(n % i == 0)
18 return false;
19 return true;
20 }
21
22 int main()
23 {
24 scanf("%d", &n);
25 if(n == 4)
26 {
27 printf("YES\n1\n3\n2\n4\n");
28 return 0;
29 }
30 else if(n == 1)
31 {
32 printf("YES\n1\n");
33 return 0;
34 }
35 else if(!isprime(n))
36 {
37 printf("NO\n");
38 return 0;
39 }
40 printf("YES\n1\n");
41 inv[1] = 1;
42 for(int i = 2; i < n; i++)
43 {
44 inv[i] = (n - n / i) * inv[n % i] % n;
45 printf("%lld\n", ((ll) i * inv[i - 1] % n));
46 }
47 printf("%d\n", n);
48 }
代码君
2.费马小定理＋快速幂取模 （速度是第1种解法的20倍）
1 #include <cstdio>
2 #include <cmath>
3 #define ll long long
4 int const MAX = 1e5 + 10;
5 ll inv[MAX];
6 int n;
7
8 bool isprime(int x)
9 {
10 if(x == 1)
11 return false;
12 if(x == 2)
13 return true;
14 if(x % 2 == 0)
15 return false;
16 for(int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2)
17 if(n % i == 0)
18 return false;
19 return true;
20 }
21
22 ll multi(ll a, ll b)
23 {
24 ll ans = 0;
25 a %= n;
26 while(b)
27 {
28 if(b & 1)
29 {
30 ans = (ans + a) % n;
31 b--;
32 }
33 b >>= 1;
34 a = (a + a) % n;
35 }
36 return ans;
37 }
38
39 ll quick_mod(ll a, ll b)
40 {
41 ll ans = 1;
42 a %= n;
43 while(b)
44 {
45 if(b & 1)
46 {
47 ans = multi(ans,a);
48 b--;
49 }
50 b >>= 1;
51 a = multi(a,a);
52 }
53 return ans;
54 }
55
56 int main()
57 {
58 scanf("%d", &n);
59 if(n == 4)
60 {
61 printf("YES\n1\n3\n2\n4\n");
62 return 0;
63 }
64 else if(n == 1)
65 {
66 printf("YES\n1\n");
67 return 0;
68 }
69 else if(!isprime(n))
70 {
71 printf("NO\n");
72 return 0;
73 }
74 printf("YES\n1\n");
75 for(int i = 2; i < n; i++)
76 printf("%lld\n", i * quick_mod(i - 1, n - 2) % n);
77 printf("%d\n", n);
78 }