Softmax回归

1. softmax回归模型

　　softmax回归模型是logistic回归模型在多分类问题上的扩展（logistic回归解决的是二分类问题）。

　　对于训练集，有。

　　对于给定的测试输入，我们相拥假设函数针对每一个类别j估算出概率值。也就是说，我们估计得每一种分类结果出现的概率。因此我们的假设函数将要输入一个维的向量来表示这个估计得概率值。假设函数形式如下：

　　其中是模型的参数。这一项对概率分布进行归一化，舍得所有概率之和为1.

　　softmax回归的代价函数：

　　上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

　　可以看到，softmax代价函数与logistic代价函数在形式上非常类似，只是在softmax损失函数中对类标记的个可能值进行了累加。注意在softmax回归中将分类为的概率为：

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: 

2. 权重衰减

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

我们通过添加一个权重衰减项  来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

有了这个权重衰减项以后 ()，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度 下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数  的导数，如下：

通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

3. 模型选择

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

转自：http://www.cnblogs.com/Rosanna/p/3865212.html

参考：http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归