[UOJ#129][BZOJ4197][Noi2015]寿司晚宴

试题描述

为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上,主办方为大家提供了 n?1 种不同的寿司，编号 1,2,3,…,n?1，其中第 i 种寿司的美味度为 i+1 （即寿司的美味度为从 2 到 n）。

现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 x 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 y 的寿司，而 x 与 y 不互质。

现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 p 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

输入

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,p，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种寿司，最终和谐的方案数要对 p 取模。

输出

输出一行包含 1 个整数，表示所求的方案模 p 的结果。

输入示例

100 100000000

输出示例

3107203

数据规模及约定

2≤n≤500

0<p≤1000000000

题解

果然还是第三题最厉害。

根据“互质”这个条件，我们发现每个数可以用它的质因数表示即可。然后发现一个性质：每个数最多有一个质因数大于 sqrt(500)；而小于 sqrt(500) 的质数又只有 8 个。

根据以上性质，我们就可以进行状压 dp 了。

首先对 2 到 n 的每个数处理出两个值：big 最大质因数（若这个质因数小于 sqrt(500) 则 big = 1），s 这个数包含较小质因数的集合（易知 s 是一个 8 位的二进制）；

现在我们再读一遍题，问题就转化成了给每个数进行三种决定（把它给小 G，给小 W，或都不给），满足小 G、小 W 拿到的数的质因子没有交集；

对于小于 sqrt(500) 部分的质因子显然可以状压解决，对于那些含有大于 sqrt(500) 的质因子的数我们把它们按 big 值分类，那么每一类中的数的主人必须是同一个，或者没有主人。

分析到这里，怎样 dp 应该很明了了吧。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *Tail;
inline char Getchar() {
	if(Head == Tail) {
		int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
		Tail = (Head = buffer) + l;
	}
	return *Head++;
}
int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = Getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = Getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 510
#define maxs 256

int n, MOD, f[maxn][3][maxs][maxs], prime[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};

struct Num {
	int big, s;

	bool operator < (const Num& t) const { return big < t.big; }

	void getNum(int x) {
		s = 0;
		for(int i = 0; i < 8; i++) if(x % prime[i] == 0) {
			s |= (1 << i);
			while(x % prime[i] == 0) x /= prime[i];
		}
		big = x;
		return ;
	}
} ns[maxn];

int main() {
	n = read(); MOD = read();

	for(int i = 2; i <= n; i++) ns[i].getNum(i);
	sort(ns + 2, ns + n + 1);
	int all = (1 << 8) - 1;
	f[1][0][0][0] = 1;
	ns[1].big = 1;
	for(int i = 1; i < n; i++)
		for(int cho = 0; cho < 3; cho++)
			for(int s1 = 0; s1 <= all; s1++)
				for(int s2 = 0; s2 <= all; s2++) if(!(s1 & s2) && f[i][cho][s1][s2]) {
					int tmp = f[i][cho][s1][s2];
					if(ns[i+1].big == 1) {
						(f[i+1][0][s1|ns[i+1].s][s2] += tmp) %= MOD;
						(f[i+1][0][s1][s2|ns[i+1].s] += tmp) %= MOD;
						(f[i+1][0][s1][s2] += tmp) %= MOD;
					}
					else if(ns[i+1].big == ns[i].big) {
						if(cho == 0) {
							(f[i+1][0][s1][s2] += tmp) %= MOD;
							(f[i+1][1][s1|ns[i+1].s][s2] += tmp) %= MOD;
							(f[i+1][2][s1][s2|ns[i+1].s] += tmp) %= MOD;
						}
						if(cho == 1) (f[i+1][1][s1|ns[i+1].s][s2] += tmp) %= MOD, (f[i+1][1][s1][s2] += tmp) %= MOD;
						if(cho == 2) (f[i+1][2][s1][s2|ns[i+1].s] += tmp) %= MOD, (f[i+1][2][s1][s2] += tmp) %= MOD;
					}
					else {
						(f[i+1][0][s1][s2] += tmp) %= MOD;
						(f[i+1][1][s1|ns[i+1].s][s2] += tmp) %= MOD;
						(f[i+1][2][s1][s2|ns[i+1].s] += tmp) %= MOD;
					}
				}

	int ans = 0;
	for(int cho = 0; cho < 3; cho++)
		for(int s1 = 0; s1 <= all; s1++)
			for(int s2 = 0; s2 <= all; s2++)
				if(!(s1 & s2)) (ans += f[n][cho][s1][s2]) %= MOD;
	printf("%d\n", ans);

	return 0;
}