原文地址：
http://www.cnblogs.com/zhxshseu/p/4947609.html%20
转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/zhxshseu/p/4947609.html
问题描述：Given a string S, find the longest palindromic substring in S.
这道题目是一个经典的动态规划DP http://challenge.greplin.com/问题，在面试中经常会被问到。为什么？因为这个问题可以有很多很多种解法。接下来将会给大家讲解5种解法，大家准备好了么？
你现在也可以先去 OJ 网站尝试去解决它。http://www.leetcode.com/onlinejudge
Hint:
首先，确认你能够理解 什么叫做 回文 palindrome。回文，就是一个正反向去读它，都是同一个结果的字符串。比如：“aba”是一个回文，但是“abc”不是。
一个普遍的错误:
有些朋友可能会立即想出一个快速的方法，但非常不幸，这个方法是不正确的。该方法描述如下：
把字符串S 反转，变成 S‘，然后找到最长的公共子串不就好了么？https://en.wikipedia.org/wiki/Longest_common_substring_problem
看起来是正确的，并没有什么不妥。但是我们看下面的例子：
S = “caba”, S’ = “abac”.
S和S‘的最大公共子串是aba，就是正确的答案。
但是看另一个例子：
S = “abacdfgdcaba”, S’ = “abacdgfdcaba”.
这个算法将会得出S的最大回文是“abacd”，显然是不正确的。
接下来给出一个O(N2) DP 解法，同时空间复杂度也是O(N2)。
暴力搜索Brute force solution, O(N3):
暴力算法是对所有的子串，判断是否是回文。对于一个长度为N的字符串，其子串总共有C(N,2)种，而判断子串是否是回文，时间复杂度为O(N)，所以总共耗费O(N3)时间.
动态规划解法, O(N2)时间复杂度 O(N2)空间复杂度:
为了将算法从暴力解法提升到DP解法，首先我们需要知道解法中得递推关系。比如字符串“ababa”，如果我们已经知道“bab”是回文，那么显然“ababa”也是回文，因为首字符和尾字符是相等的。
这样我们便知道了递推关系，描述如下：
定义 P[ i, j ] ← 如果子串Si … Sj 是一个回文，那么该项为true, 否则为false.
因此递推如下：
P[ i, j ] 为 true ← ( P[ i+1, j-1 ]为true，并且Si = Sj )
基本条件是：
P[ i, i ] 一定是true
P[ i, i+1 ] 为true ← ( Si = Si+1 )
这便是一个典型的DP问题解法。首先初始化长度为1,2的回文字符判断表，即P。然后以它为基础，逐个找出长度为3,4,5……的回文。（至于什么是DP问题，可以参看这篇文章http://www.360doc.com/content/13/0601/00/8076359_289597587.shtml）
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 |
string longestPalindromeDP(string s) { int n = s.length(); int longestBegin = 0; int maxLen = 1; bool table[1000][1000] = {false}; for (int i = 0; i < n; i++) { table[i][i] = true; } for (int i = 0; i < n-1; i++) { if (s[i] == s[i+1]) { table[i][i+1] = true; longestBegin = i; maxLen = 2; } } for (int len = 3; len <= n; len++) {//对长度为3,4,5……的子串进行遍历 for (int i = 0; i < n-len+1; i++) {//以len为窗口，在s上进行平移，判断是否符合递推条件 int j = i+len-1; if (s[i] == s[j] && table[i+1][j-1]) { table[i][j] = true; longestBegin = i; maxLen = len; } } } return s.substr(longestBegin, maxLen); } |
举例：cabccbad
第一次循环以后，table值如下
第二次循环以后，table值如下：
下面开始长度为3,4,5……的循环：
首先当len=3：
窗口里的子串为cab，i=0，j=2，这时候判断 Table[1][1] 是否 true（是），并且 s[0] 和 s[2] 是否相等（ 不相等）所以不满足。窗口平移：
一样的判断，同理还是不满足。
……
len=3循环结束，table值不变，因为没有长度为3的回文串。
len=4：
窗口子串为”cabc“，此时i=0，j=3，Table[1][2] false，不匹配。窗口平移。
窗口子串为”abcc“，此时i=1，j=4，Table[2][3] false，不匹配。窗口平移。
窗口子串为”bccb“，此时i=2，j=5，Table[3][4] true，且 s[2]==s[5]，maxlen=4，longestBegin=2，Table更新
后面都不更新。
len=5：都不更新
len=6：
当窗口滑到
串口子串为”abccba“，此时i=1，j=6，Table[2][5] true，且 s[1]==s[6]，maxlen=6，longestBegin=1，Table更新
len=7：都不更新。
还有更简单的方法, O(N2) 时间复杂度 and O(1) 空间复杂度:
事实上我们可以在O(N2)时间复杂度的前提下，不使用额外的存储空间。
可以观察到，一个回文是以中心点，镜像对称的。因此，一个回文可以从中心点展开，而这个中心点，有2N-1个。
可能你会问，为什么是2N-1个中心点，而不是N个。这是因为偶数串中心点是两个数中间，奇数串中心点是中间的数字。
因为在一个中心点展开回文，需要耗时O(N)，总共时间复杂度也就是O(N2).
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 |
string expandAroundCenter(string s, int c1, int c2) { int l = c1, r = c2; int n = s.length(); while (l >= 0 && r <= n-1 && s[l] == s[r]) { l--; r++; } return s.substr(l+1, r-l-1); } string longestPalindromeSimple(string s) { int n = s.length(); if (n == 0) return ""; string longest = s.substr(0, 1); // c single char itself is a palindrome for (int i = 0; i < n-1; i++) {//遍历整个字符串 string p1 = expandAroundCenter(s, i, i);//以该位置字符为中心展开，奇数长 if (p1.length() > longest.length()) longest = p1; string p2 = expandAroundCenter(s, i, i+1);//以该字符后面的空隙展开，偶数长 if (p2.length() > longest.length()) longest = p2; } return longest; } |
举例：cabccbad
初始时，i=0
奇：
一次循环，l=-1，r=1
s.substr(l+1,r-l-1)==s.substr(0,1)，即”c“->longest
偶：
不满足循环条件，l=0，r=1
substr(1,0) null.
i=1:
奇：
同上
偶：
同上
……
i=3：
奇：
同上
偶：
可以看出这是回文的对称点。
循环三次，第四次判断结束。
l=0，r=7
substr(1，6）：”abccba“ -> longest
……
进一步思考:
存在 O(N)的算法么？显然有！ 关于 O(N)的解法将在下一篇中解答。http://articles.leetcode.com/2011/11/longest-palindromic-substring-part-ii.html