[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.6

6. 设 $A\in M_{m,n}$, $B\in M_{n,m}$. 证明: $$\bex \sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea} \eex$$ 相似, 从而给出定理 1.14 的另一个证明.

证明: $$\bex \sex{\ba{cc} I_m&A\\ 0&I_n \ea}\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea}\sex{\ba{cc} I_m&-A\\ 0&I_n \ea}=\sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}. \eex$$

时间： 2024-10-07 14:50:37

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.15

15. 设 $S_n[a,b]$ 表示所有元素属于给定的区间 $[a,b]$ 的 $n$ 阶实对称矩阵的集合. 对于 $j=1,n$ 确定 $$\bex \max\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}\mbox{ 和 } \min\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}, \eex$$ 以及分别取到最大值和最小值的矩阵. 解答: 对 $0\neq x\in\bbR^n$, $$\beex \bea &\quad x^TAx\\ &=x^TP^T (

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14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变? 解答: 置换算子 $f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$, 使得 $$\bex f(A)=PAP^T,\quad \forall\ A\in M_n; \eex$$ 或 $$\bex f(A)=PA^TP^T,\quad \forall\ A\in M_n. \eex$$ 置换算子 $f$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.9

9. 记 $\dps{m=\sex{n\atop k}}$. 复合矩阵映射 $C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是单射吗? 是满射吗? 解答: 当 $k=1$ 时, $C_k(A)$ 就是 $A$ 的每个元素. 故 $C_k$ 是单射也是满射. 当 $k\geq 2$ 时, 一般地, $C_k$ 不是单射, 比如 $$\bex \sex{\ba{cccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vd

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1. 对于怎样的 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $A\otimes B=I$? 解答:     写出     $$\bex     A\otimes B=\sex{\ba{ccc}     a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\     \vdots&\ddots&\vdots\\     a_{n1}B&\cdots&a_{nn}B     \ea}.     \eex$$     要使 $A\otimes B=I$, 当且仅当

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3. 设 $\lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 $A$ 使得 $\lm$ 是 $A$ 的一个特征值. 证明: (1). 首先 $A$ 的阶数须 $\geq 3$. 当 $n=1$ 时, 非负方阵的特征值为非负实数. 当 $n=2$ 时, 由 $$\beex \bea |\lm I-A|&=\lm^2 -(a_{11}+a_{22})\lm +a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\\ &=\sez{\lm-\frac{a_{11}+a_{22}}{2}}^2 +a_{

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

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