斐波那契数列(公式)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1568

Fibonacci

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3947    Accepted Submission(s): 1817

Problem Description

2007年到来了。经过2006年一年的修炼,数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来,CodeStar决定要考考他,于是每问他一个数字,他就要把答案说出来,不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了,可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000),每个数字一行。读到文件尾。

Output

输出f[n]的前4个数字(若不足4个数字,就全部输出)。

Sample Input

0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40

Sample Output

0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023

要取前四位,用对数的方法log(fn)的小数部分是log(原数的科学计数法中前半部分),故10的这个小数次方就是这个原数的科学计数法中前半部分

求大数前几位的方法

当一个数非常大时,如何求出其前几位呢?

如果是给定一个特定的数,当然可以逐步取出每一位即可。如

a得个位,a/10得百位,a/10/10得千位。

但是,当求x^y的前几位时怎么办呢?若x,y都非常大,则显然很难解决:也许可以用大数乘法,暴力求解,结果自然是既占内存,又耗时间。

还有,此题斐波拉契数列的前几位,显然求出每个斐波拉契数是不现实的。因此,可以采用取对数的方法来解决。

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7
log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744

10^0.010063744=1.023443198,

要求该数的前4位,则将1.023443198*1000即可。

因此,pow(10.0,x的小数部分)即可方便求出x的前几位。

求一数的前4位的对数方法可以表述为:

double x,temp;

while(scanf("%lf",&x)!=EOF)

{

temp=log(x)/log(10.0);

temp=temp-floor(temp); //floor(temp)函数求出小于temp的最大整数

temp=pow(10.0,temp);

while(temp<1000)

temp*=10;

//printf("%.0lf\n",temp); //采用浮点表达法时会四舍五入

printf("%d\n",(int)temp);//此处不需四舍五入,直接舍弃后面的位

}

}

下面给出斐波那契数列通项公式:

但是这个题要是直接套公式还是会超时,所以我们将通项公式左右取对数,化简得

log10(F(n))=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)

s  =  (1+sqrt(5.0))/2.0;

<提取的公因式s,然后将后面化成两式相乘的形式>

注意:其中第三部分非常小,当n很大时趋近于0,可以忽略掉。

下面给出代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 /*
 5 double f (int n )
 6 {
 7     return (1.0/sqrt(5.0))*(pow(((1.0+sqrt(5.0))/2),n)-pow( ((1.0-sqrt(5.0))/2),n ) );
 8 } 这样处理以后还是会车超*/
 9 int ff(int n )
10 {
11     if(n==0) return 0;
12     if(n==1) return 1;
13     return ff(n-1)+ff(n-2);
14 }
15 int main()
16 {
17     int n;
18     while(~scanf("%d",&n))
19     {
20         //printf("%d ",(int)f(n));
21         if(n>=21)
22         {
23             //double temp = log(f(1.0*n))/log(10.0);//计算的时候还是会超
24             double s = (1+sqrt(5.0))/2.0;
25             double temp = -0.5*log(5.0)/log(10.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0);
26             temp = temp - floor(temp);
27             temp = pow(10.0,temp);
28             while(temp<1000.0)
29             {
30                 temp*=10.0;
31             }
32             printf("%d\n",(int)temp);
33         }
34         else
35             printf("%d\n",ff(n));
36     }
37     return 0;
38 }
时间: 2024-10-19 21:02:27

斐波那契数列(公式)的相关文章

斐波那契数列公式算法-JS实现

之前算斐波那契数列都是算前两个数相加实现的 比如0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368 2=1+1 3=1+2 5=2+3 8=3+5 …… 其实还有另外一个规律: 2 = 1*2-03 = 2*2-15 = 3*2-18 = 5*2-213= 8*2-321=13*2-5 …… 下面是JS实现的代码: <!DOCTYPE h

斐波那契数列记录项

前言:f[n]=f[n-1]+f[n-2]:f[0]=0,f[1]=1; 这是斐波那契数列公式.如果要求F[N],要计算N次: 更一般的知道其只与n有关的公式: Fn=5√5((1+5√2)n−(1−5√2)n) Fn=5√5((1+5√2)n−(1−5√2)n) Fn=5√5((1+5√2)n−(1−5√2)n) a=sqrt(5)/5; b=(1+sqrt(5))/2; c=(1-sqrt(5))/2; fn=a(b^n-c^n);(不会Latex的痛, 如果答案是Mod的话,运算时有问题的

JS 从斐波那契数列浅谈递归

一.前言 昨晚下班后,经理出于兴趣给我们技术组讲了讲算法相关的东西,全程一脸懵逼的听,中途还给我们出了一道比较有趣的爬楼问题,问题如下: 假设一个人从地面开始爬楼梯,规定一步只能爬一坎或者两坎,人只能往上走,例如爬到第一坎,很明显从地面到第一坎只有一种可选方式,从地面爬到第二坎,他可以从地面直接跨到第二坎,也可以先从地面到第一坎,再从第一坎到第二坎,也就是2种可选方式,那么求他爬到N楼一共有几种可选方式. 这道题涉及到了斐波那契数列,要求使用递归来求值,技术贼菜的我也是一脸懵逼,所以本着学习的心

Java与算法之(3) - 斐波那契数列

斐波那契数列问题:如果一对兔子每月能生1对小兔子,而每对小兔在它出生后的第三个月里,又能开始生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由一对初生的兔子开始,1年后能繁殖出多少对兔子? 首先手工计算来总结规律,如下表注意总数这一列 1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13 可以得出规律,第n个斐波那契数=第n-1个斐波那契数+第n-2个斐波那契数 为了计算n,必须计算n-1和n-2:为了计算n-1,必须计算n-2和n-3:直到n-x的值为1为止,这显示是递归大显身手的地方.来看代

斐波拉契数列的递归、非递归、公式法多种方法实现

实现斐波拉契数列:1,1,2,3,5,8...,当n>=3时,f(n)=f(n-1)+f(n-2). 解:求解斐波拉契数列方法很多,这里提供了4种实现方法和代码,由于第5种数学公式方法代码太过繁琐,只做简单介绍 方法一:递归调用,每次递归的时候有大量重复计算,效率低,可将其调用的过程转化成一颗二叉树进行分析,二叉树的总结点个数不超过(2^n-1)个,由于其是不完全二叉树,那么函数计算的次数必小于(2^n-1),时间复杂度为O(2^n):递归调用的深度为n,空间复杂度为O(n) 方法二:非递归数组

快速求斐波那契数列(矩阵乘法+快速幂)

斐波那契数列 给你一个n:f(n)=f(n-1)+f(n-2) 请求出 f(f(n)),由于结果很大请 对答案 mod 10^9+7; 1<=n<=10^100; 用矩阵乘法+快速幂求斐波那契数列是经典应用: 矩阵公式 C i j=C i k *C k j; 根据递推式 构造2*2矩阵: 原始矩阵 1 0 0 1 矩阵 2 1 1 1 0 原始矩阵与矩阵 2相乘达到转化状态效果: 对矩阵二进行快速幂 乘法:达到快速转化矩阵的效果: 即使达到快速转化状态:那么大的数据范围也很难求解: 高精?这有

php实现斐波那契数列以及由此引起的联想

斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0.1.1.2.3.5.8.13.21.34.……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)在现代物理.准晶体结构.化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用.————摘自百度百科 公式: F(n)=F(n

青蛙跳台阶问题-斐波拉契数列

题目1:一个台阶总共有n级,如果一次可以跳1级,也可以跳2级.求总共有多少种跳法 首先我们考虑最简单的情况,加入只有1级台阶,那显然只有一种跳法,如果有2级台阶,那就有两种跳的方法了:一种是分两次跳,每次跳1级:另外一种就是一次跳2级 现在我们来讨论一般情况.我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数,记为f(n).当n>2时,第一次跳的时候就有两种不同的选择:一是第一次只跳1级,此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目,即为f(n-1):另外一种选择是第一次跳2级,此时跳法数目等于后面剩下的

斐波拉契数列的计算方法

面试题9.斐波拉契数列 题目: 输入整数n,求斐波拉契数列第n个数. 思路: 一.递归式算法: 利用f(n) = f(n-1) + f(n-2)的特性来进行递归,代码如下: 代码: long long Fib(unsigned int n) { if(n<=0) return 0; if(n==1) return 1; return Fib(n-1) + Fib(n-2); } 缺陷: 当n比较大时递归非常慢,因为递归过程中存在很多重复计算. 二.改进思路: 应该采用非递归算法,保存之前的计算结