伯努利数与自然数幂和

今天我们讨论的问题是如何有效地求自然数的幂和。接下来以3个经典题目为例来讲解。

题目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=1864

分析：其实求自然数的幂和方法有很多种，先来看看普通的递推求法，由于

那么对于所有的累加得到

进一步得到

可以看出这是一个递推式，如果我们记

那么得到如下递归式

递归出口是

为了提高效率，在递归的时候需要记忆化。由于要用到大数，用Java实现。

代码：

import java.math.*;
import java.util.*;

public class Main {

	public static final int N = 105;
	public static final BigInteger FLAG = (BigInteger.ZERO).subtract(BigInteger.ONE);
	public static BigInteger[][] C = new BigInteger[N][N];
	public static BigInteger[] ans = new BigInteger[N];

	public static void Init(){
		for(int i=0; i<N; i++){
			C[i][0] = C[i][i] = BigInteger.ONE;
			if(i == 0) continue;
			for(int j=1; j<i; j++)
				C[i][j] = C[i-1][j].add(C[i-1][j-1]);
		}
	}

	public static BigInteger Solve(BigInteger n, int k){
		if(ans[k].compareTo(FLAG) != 0){
			return ans[k];
		}
		if(k == 1){
			ans[k] = ((n.add(BigInteger.ONE)).multiply(n)).divide(BigInteger.valueOf(2));
			return ans[k];
		}
		BigInteger tmp = BigInteger.ONE;
		for(int i=0; i<k+1; i++){
			tmp = tmp.multiply(n.add(BigInteger.ONE));
		}
		tmp = tmp.subtract(n.add(BigInteger.ONE));
		BigInteger sum = BigInteger.ZERO;
		for(int i=1; i<k; i++){
			BigInteger t = C[k+1][i+1].multiply(Solve(n, k-i));
			sum = sum.add(t);
		}
		ans[k] = (tmp.subtract(sum)).divide(BigInteger.valueOf(k+1));
		return ans[k];
	}

	public static void main(String[] args){
		Init();
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		while(cin.hasNext()){
			BigInteger n = cin.nextBigInteger();
			int k = cin.nextInt();
			for(int i=0; i<N; i++){
				ans[i] = FLAG;
			}
			System.out.println(Solve(n, k));
		}
	}
}

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1228

分析：本题题意就是求自然数的幂和，但是它的case比较多。对于求幂和本身就需要的时间复杂度，如果继

续用上述方法来求自然数的幂和，5000个case会TLE，接下来介绍另一个求自然数幂和的方法，它是基于伯

努利数的，公式描述如下

可以看出只要我们预处理出每一项，就可以在线性时间内求得自然数的幂和。前面的倒数可以用递推法求逆元

预处理，组合数也可以预处理，也可以先预处理，现在关键是如何预处理伯努利数。

   伯努利数满足条件，且有

那么继续得到

这就是伯努利数的递推式，逆元部分同样可以预处理。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD = 1000000007;
const int N = 2005;

LL C[N][N];
LL B[N],Inv[N];
LL Tmp[N];
LL n;

void Init()
{
    //预处理组合数
    for(int i=0; i<N; i++)
    {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        if(i == 0) continue;
        for(int j=1; j<i; j++)
            C[i][j] = (C[i-1][j] % MOD + C[i-1][j-1] % MOD) % MOD;
    }
    //预处理逆元
    Inv[1] = 1;
    for(int i=2; i<N; i++)
        Inv[i] = (MOD - MOD / i) * Inv[MOD % i] % MOD;
    //预处理伯努利数
    B[0] = 1;
    for(int i=1; i<N; i++)
    {
        LL ans = 0;
        if(i == N - 1) break;
        for(int j=0; j<i; j++)
        {
            ans += C[i+1][j] * B[j];
            ans %= MOD;
        }
        ans *= -Inv[i+1];
        ans = (ans % MOD + MOD) % MOD;
        B[i] = ans;
    }
}

LL Work(int k)
{
    LL ans = Inv[k+1];
    LL sum = 0;
    for(int i=1; i<=k+1; i++)
    {
        sum += C[k+1][i] * Tmp[i] % MOD * B[k+1-i] % MOD;
        sum %= MOD;
    }
    ans *= sum;
    ans %= MOD;
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    Init();
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int k;
        scanf("%I64d %d", &n, &k);
        n %= MOD;
        Tmp[0] = 1;
        for(int i=1; i<N; i++)
            Tmp[i] = Tmp[i-1] * (n + 1) % MOD;
        printf("%I64d\n", Work(k));
    }
    return 0;
}

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1258

分析：本题与上题不同的是值比较大，达到50000，如果采用同样的方法，会TLE的。那么必定要进行优化。

对上述的表达式继续进行化简，得到

可以看出后面的那一坨是卷积的形式，那么可以用FFT来做。