BZOJ 3707: 圈地 计算几何

Description

2维平面上有n个木桩，黄学长有一次圈地的机会并得到圈到的土地，为了体现他的高风亮节，他要使他圈到的土地面积尽量小。圈地需要圈一个至少3个点的多边形，多边形的顶点就是一个木桩，圈得的土地就是这个多边形内部的土地。（因为黄学长非常的神，所以他允许圈出的第n点共线，那样面积算0）

Input

第一行一个整数n，表示木桩个数。
接下来n行，每行2个整数表示一个木桩的坐标，坐标两两不同。

题解：

简单的说就是给定平面上n个点，求这n个点组成三角形的最小面积。

如果分别枚举三个点的话是`O(n^3)`的，时间无法承受。

如果枚举了两个点a,b。设它们间的距离是L。如果以点a,b所在直线为y轴的话，与其他点所组成的三角形的面积`S=L*|x|/2`，x是其他点在这个坐标系中的横坐标。可以看出面积最小的就是离这个坐标系y轴最近的一个点。如果我们能够快速的得知最近的点的话，就可以将复杂度降低到`O(n^2)`。

把这些点两两之间求出一条直线，记录这条直线是哪两个点取到的，记录这条直线的斜率k。然后按照k排序，我们可以依次按照k递增连续变化的顺序处理这些直线。

首先将这些点按x坐标排序，相当于按x=0直线排序的情况，考虑由两个相邻的斜率k1变到k2时，这个序列的改变只有k1直线的两个点的顺序交换了下，其它点之间的顺序都没变。在枚举直线时，交换两点维护序列即可。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
//by zrt
//problem:
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf(0x3f3f3f3f);
const double eps(1e-9);
struct point{
    int x,y;
    friend bool operator < (point x,point y){
        return x.x<y.x;
    }
}p[1005];
struct line{
    int x,y;double k;
    friend bool operator < (line a,line b){
        return a.k<b.k;
    }
}l[500005];
int pos[1005],rank[1005];
int n,c;
double ans;
point operator -(point a,point b){
    static point ret;
    ret.x=a.x-b.x;
    ret.y=a.y-b.y;
    return ret;
}
double cross(point a,point b){
    return a.x*1.0*b.y-b.x*1.0*a.y;
}
int main(){
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    ans=1e200;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
    }
    sort(p+1,p+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++) rank[i]=pos[i]=i;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            l[++c].x=i;l[c].y=j;
            l[c].k=(p[j].y-p[i].y)/(double)(p[j].x-p[i].x);
        }
    }
    sort(l+1,l+c+1);
    int a,b;
    for(int i=1;i<=c;i++){
        a=l[i].x;b=l[i].y;
        if(pos[a]>pos[b]) swap(a,b);
        if(pos[a]>1)ans=min(ans,fabs(cross(p[a]-p[b],p[rank[pos[a]-1]]-p[b])));
        if(pos[b]<n)ans=min(ans,fabs(cross(p[a]-p[b],p[rank[pos[b]+1]]-p[b])));
        swap(pos[a],pos[b]);
        swap(rank[pos[a]],rank[pos[b]]);
    }
    printf("%.2f\n",ans/2.0);
    return 0;
}