2752: [HAOI2012]高速公路(road)
Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 1545 Solved: 593
[Submit][Status][Discuss]
Description
Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?
Input
第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r 表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N
Output
对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1
Sample Input
4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4
Sample Output
1/1
8/3
17/6
HINT
数据规模
所有C操作中的v的绝对值不超过10000
在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数
所有测试点的详细情况如下表所示
Test N M
1 =10 =10
2 =100 =100
3 =1000 =1000
4 =10000 =10000
5 =50000 =50000
6 =60000 =60000
7 =70000 =70000
8 =80000 =80000
9 =90000 =90000
10 =100000 =100000
考试前一天晚上做梦，梦见自己考试140，倒数第二，一开始以为自己只是日有所思夜有所梦，然后……这道题助我梦想成真/(ㄒoㄒ)/~~然而最终只有20分……
其实当天已经推出来了式子，然而由于不敢去打，只能打了区间修改单点查询的打法，结果还全E了，好尴尬啊，连暴力的40分都没拿到。
基本大多数人都可以推到这里——一个边对于答案的贡献（不算分母）：设这条边为第i条边，询问为l,r：(i-l+1)*(r-i)*v[i]。
然后我们大可把这个式子展开为：
r*(i+1)*v[i]+i*l*v[i]-l*r*v[i]-i*(i+1)*v[i]。
由于l,r随询问而变，我们无从得知，但由于求得是上述式子的最终值，我们可以去维护上式中的四个单项式，以及他们的系数。
通过系数我们就可以很轻松的应对区间修改，因为系数是不受任何影响的，而对于每一个修改，对于答案的影响就是修改值乘以系数，这样我们的修改查询都是log n的了。
最后叮嘱的一点是long long 不然会死的很惨。
1 #include<iostream>
2 #include<cstdlib>
3 #include<cstdio>
4 #include<cstring>
5 #include<queue>
6 #include<algorithm>
7 #include<cmath>
8 #include<map>
9 #include<vector>
10 #define N 100004
11 #define int long long
12 using namespace std;
13 int n,m;
14 struct no
15 {
16 int left,right,mid;
17 long long lazy;
18 long long data[5];
19 long long sum[5];
20 }node[N*4];
21 long long gcd(long long a,long long b)
22 {
23 if(b==0)return a;
24 return gcd(b,a%b);
25 }
26 void pushup(int x)
27 {
28 for(int i=1;i<=4;i++)
29 {
30 node[x].data[i]=node[x*2].data[i]+node[2*x+1].data[i];
31 node[x].sum[i]=node[x*2].sum[i]+node[2*x+1].sum[i];
32 }
33 }
34 void build(int left,int right,int x)
35 {
36 node[x].left=left,node[x].right=right;
37 if(left==right)
38 {
39 node[x].data[1]=left+1;
40 node[x].data[2]=left;
41 node[x].data[3]=1;
42 node[x].data[4]=left*(left+1);
43 return;
44 }
45 int mid=(left+right)>>1;
46 node[x].mid=mid;
47 build(left,mid,2*x);
48 build(mid+1,right,2*x+1);
49 pushup(x);
50 }
51 struct inf
52 {
53 long long a,b;
54 };
55 char b[50];
56 void pushdown(int x)
57 {
58 if(node[x].lazy)
59 {
60 node[2*x].lazy+=node[x].lazy;
61 node[x*2+1].lazy+=node[x].lazy;
62 for(int i=1;i<=4;i++)
63 {
64 node[2*x].sum[i]+=node[x].lazy*node[2*x].data[i];
65 node[2*x+1].sum[i]+=node[x].lazy*node[2*x+1].data[i];
66 }
67 node[x].lazy=0;
68 }
69 }
70 void add(int left,int right,int x,int z)
71 {
72 if(node[x].left==left&&node[x].right==right)
73 {
74 node[x].lazy+=z;
75 for(int i=1;i<=4;i++)
76 node[x].sum[i]+=node[x].data[i]*z;
77 return;
78 }
79 pushdown(x);
80 int mid=node[x].mid;
81 if(left>mid)
82 add(left,right,x*2+1,z);
83 else if(right<=mid)
84 add(left,right,2*x,z);
85 else
86 add(left,mid,x*2,z),add(mid+1,right,2*x+1,z);
87 pushup(x);
88 }
89 inf get(long long left,long long right,int x,long long l,long long r)
90 {
91 if(node[x].left==left&&node[x].right==right)
92 {
93 inf aa;
94 aa.a=node[x].sum[1]*r-l*r*node[x].sum[3];
95 aa.a-=node[x].sum[4];
96 aa.a+=l*node[x].sum[2];
97 aa.b=(r-l+1)*(r-l)/2;
98 long long t=gcd(aa.a,aa.b);
99 aa.a/=t;
100 aa.b/=t;
101 return aa;
102 }
103 pushdown(x);
104 int mid=node[x].mid;
105 if(left>mid)
106 return get(left,right,2*x+1,l,r);
107 else if(right<=mid)
108 return get(left,right,2*x,l,r);
109 else
110 {
111 inf aa=get(left,mid,2*x,l,r);
112 inf bb=get(mid+1,right,2*x+1,l,r);
113 if(aa.b==bb.b)
114 {
115 aa.a+=bb.a;
116 long long t=gcd(aa.a,aa.b);
117 if(t!=1)
118 aa.a/=t,aa.b/=t;
119 return aa;
120 }
121 else
122 {
123 long long tt=gcd(aa.b,bb.b);
124 long long c;
125 if(aa.b%tt==0)
126 {
127 c=aa.b/tt;
128 c*=bb.b;
129 }
130 else if(bb.b%tt==0)
131 {
132 c=bb.b/tt;
133 c*aa.b;
134 }
135 else
136 {
137 c=aa.b*bb.b/tt;
138 }
139 aa.a*=c/aa.b;
140 bb.a*=c/bb.b;
141 aa.a+=bb.a;
142 aa.b=c;
143 long long t=gcd(aa.a,aa.b);
144 if(t!=1)
145 aa.a/=t,aa.b/=t;
146 return aa;
147 }
148 }
149 }
150 signed main()
151 {
152 scanf("%lld%lld",&n,&m);
153 build(1,n-1,1);
154 while(m--)
155 {
156 scanf("%s",b);
157 if(b[0]==‘C‘)
158 {
159 int l,r,z;
160 scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&z);
161 add(l,r-1,1,z);
162 }
163 else
164 {
165 long long l,r;
166 scanf("%lld%lld",&l,&r);
167 inf tt=get(l,r-1,1,l,r);
168 printf("%lld/%lld\n",tt.a,tt.b);
169 }
170 }
171 return 0;
172 }