Reference：http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax_regression
起源：Logistic的二类分类
Softmax回归是Logistic回归的泛化版本，用于解决线性多类（K类）的分类问题。Logistic回归可以看作是Softmax回归在K=2时的特例。
①如何从2类转化为K类？
解决方案是引入K组（W、b）参数，选择$max P（Y=j|x^{i},\theta,b)$作为最终分类即可。
由于存在K组参数，原来的$h(\theta)=sigmoid(Inner)$将从单个值，变成一个大小为K的向量。
②变化的目标函数
Logistic的目标函数： $J(\theta)=\sum_{i=1}^{m}(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{i})+y^{i}log(h_{\theta}(x^{(i)}))$
在Softmax里，由于h_{\theta}(x^{(i)}已经变成了向量，所以不能再使用。
实际上，在Logistic的推导里，h_{\theta}(x^{(i)}只是偶然而已，$P(y=0|x;\theta)=h(\theta)$。
即$P(y|x;\theta)$才是真正的概率密度函数。由于y的取值变成的K类，所以新的概率密度函数表示如下：
$P(y^{(i)}=j|x;\theta)=\frac{e^{W_{j}X^{i}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{W_{l}X^{i}}}$
且定义$1\{y_{i}=j\}=(y_{i}==j)?1:0$
则 $J(\theta)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=0}^{l}1\{y_{i}=j\}log\frac{e^{W_{j}X^{i}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{W_{l}X^{i}}}$
仔细观察，其实就是$h_{\theta}(x^{(i)})$这个向量根据$y^{(i)}$情况抽取的单个值而已。
梯度变成：$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{l=1}^{k}x^{(i)}(1\{y_{i}=j\}-P(y^{(i)}=j|x;\theta))$