再寄小读者之数学篇[2014.07.01-2014.12.31]

[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换)

设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). \eex$$ 设 $\scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$\bex \scrA(f(x))=r(x). \eex$$ 试证: $\scrA$ 是一个线性变换, 并求它关于基底 $\sed{1,x,x^2,x^3,x^4}$ 的矩阵.

[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 不可约多项式与重根)

设 $\mathbb{P}$ 为数域, 如果 $p_1(x),\cdots,p_r(x)$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的 $r$ 个两两不同的首相系数为 $1$ 的不可约多项式, 证明: $f(x)=p_1(x)\cdots p_r(x)$ 在数域 $\mathbb{P}$ 上无重根.

再寄小读者之数学篇[2014.07.01-2014.12.31]

时间： 2024-10-06 16:52:09

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[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg

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$$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cdot ({\bf b}\otimes {\bf b})]. \eex$$ 证明: 右端第一个分量为 $$\beex \bea &\quad \sum_i \p_2(\p_i(b_ib_3))-\p_3(\p_i(b_ib_2))\\ &=\sum_i \p_2(b_i\p_ib_3)-\p_3(b_i\p_ib_2)\\

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