算法13---动态规划钢材裁剪

动态规划方法通常用来求解最优化问题。动态规划算法设计步骤：

1.刻画一个最优解的结构特征。

2.递归定义最优解的值。

3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。

4.利用计算出的信息构造一个最优解。

文中给出了算法的伪代码，下面我们把递归，从顶到底，从底到顶的方法都实现一下

具体的代码如下所示

  1 #include <stdio.h>
  2 #include <stdlib.h>
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  7 #define infinity  -1  //负无穷
  8 #define len 100
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 12 int cut_rod(int p[],int n);
 13 void print_menoized_cut_rod(int p[],int n);
 14 int menoized_cut_rod_aux(int p[],int r[],int s[],int n);
 15 void bottomup_cut_rod(int p[],int r[],int s[],int n);
 16 void PrintCutRodSolution(int p[], int n);//自底向上法
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 19 //自顶向下递归实现
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 21 int cut_rod(int p[],int n)
 22 {
 23     int max=infinity;
 24
 25     if (n==0)
 26     {
 27         return 0;
 28     }
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 30     //printf("ok,start!\n");
 31     int temp=0;
 32     for (int i = 0; i < n; i++)
 33     {
 34         temp=p[i]+cut_rod(p,n-i);
 35         if (temp>max)
 36         {
 37             max=temp;
 38         }
 39     }
 40     return max;
 41 }
 42
 43
 44 /*
 45 下面我们采取动态规划的方法来求主要有两种方法
 46 第一种方法称为带备忘的自顶向下法。此方法按照递归方式编写过程，
 47 但过程会保存每个子问题的解——用数组r[i]记录总长度为i的钢管的最大收益值。
 48 当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解，如果是，直接返回保存的值，
 49 否则递归计算这个子问题。
 50
 51   第二种方法称为自底向上法，这是动态规划的常用方法，这种方法需
 52   要我们将子问题按照规模排序，按由小到大的顺序进行求解——在本题
 53   中即按i从1到n的顺序求解。每个子问题只需求解一次，并及时把结果
 54   记录下来，以便后面调用。
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 56 */
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 59 //首先先实现备忘录方法。带备忘录的自顶向下方法
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 61  void print_menoized_cut_rod(int p[],int n)
 62  {
 63      int r[len]={0};//记录长度为i时的最大收益
 64      int s[len]={0};//用来记录对应的切割方式
 65      for (int i = 0; i < n; i++)
 66      {
 67          r[i]=infinity;
 68      }
 69      printf("the most expensive method is \n", menoized_cut_rod_aux(p,r,s,n));
 70      printf("the way to cut as follow!\n");
 71      while(n>0)
 72      {
 73          printf("%d\t",s[n]);
 74          n-=s[n];
 75      }
 76      printf("\n");
 77  }
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 80 int menoized_cut_rod_aux(int p[],int r[],int s[],int n)
 81 {
 82     int max;
 83     if (r[n]>=0)
 84     {
 85         return r[n];
 86     }
 87     if (n==0)
 88     {
 89         max=0;
 90     }
 91     else
 92     {
 93         max=infinity;
 94         for (int i = 0; i < n; i++)
 95         {
 96             int temp=p[i]+menoized_cut_rod_aux(p,r,s,n-i);
 97             if (temp>max)
 98             {
 99                 max=temp;
100                 s[n]=i;
101             }
102         }
103     }
104     return max;
105 }
106
107 //由底到顶的方法
108 void PrintCutRodSolution(int p[], int n)
109 {
110     int r[len]={0};
111     int s[len]={0};
112     bottomup_cut_rod(p,r,s,n);
113     printf("the most value cut method solve by bottom to up:%d\n",r[n] );
114     printf("the cut method:\n");
115     while(n>0)
116     {
117         printf("%d\t",s[n]);
118         n-=s[n];
119     }
120     printf("\n");
121 }
122
123
124 void bottomup_cut_rod(int p[],int r[],int s[],int n)
125 {
126     int max;
127     for (int i = 0; i <= n; i++)
128     {
129         max=infinity;
130         for (int j = 1; j <= n;j++)
131         {
132             if (max>p[j]+r[i-j])
133             {
134                 max=p[j]+r[i-j];
135                 s[i]=j;
136             }
137         }
138         r[i]=max;
139     }
140 }
141
142
143
144 int main()
145 {
146     int p[10]={1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
147     int n=4;
148     // 先递归得出结果
149     int ans=cut_rod(p,n);
150
151     printf("the most benifit is %d\n", ans);
152     // 按照从底到顶的方法
153     PrintCutRodSolution(p,n);
154     printf("\n");
155     //按照从顶到底，备忘录法
156     print_menoized_cut_rod(p,n);
157     return 0;
158 }