引言
在模式识别中，经常碰到协方差矩阵这个概念，以前一直没搞懂，现在又碰到这个破玩意了，决定把他搞懂，下面就是做的笔记，与大家分享一下
均值描述的是样本集合的样本的平均值,即平均水平.
标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的平均距离,反映的是与平均值的偏离程度。反映了数据的稳定程度。
之所以除以n-1而不是除以n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。
比如：一批灯泡，要考察期寿命，我们需要考察两个量，均值和方差，均值只能表示平均寿命，但还不能反映这批灯泡的稳定性，稳定性需要用方差来衡量。
这里的x只是一维的情况，我们可以将x这一维想象成person(name,age,height)这个特征向量中的age这个特征，特别注意，x不是代表了person这个样本，如果代表的是一个person那么age，height的平均值有什么意义呢？
为什么需要协方差？
均值和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集
多维情况下，处理需要E(X)和D(X)外，还需要讨论各个维度之间的关系，协方差就是这样一种用来度量两个随机变量(特征)相关性的统计量(特征选取的时候我们需要选择相关性小的特征，如NB算法),方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。期望值分别为E[x]与E[Y]的两个实数随机变量x与Y之间的协方差定义为：
协方差也只能处理二维问题，当维数多了，就需要采用协方差矩阵的形式：
协方差矩阵
定义：
举一个简单的三维的例子，假设数据集有
三个维度，则协方差矩阵为C= cov(x,x),cov(x,y),cov(x,z)
cov(y,x),cov(y,y),cov(y,z)
cov(z,x),cov(z,y),cov(z,z)
可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。
协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。
Matlab协方差示例
随机产生一个10*3维的整数矩阵作为样本集，10为样本的个数，3为样本的维数
sample = fix(rand(10,3)*50)
结果：
前面我们也特别强调了，协方差矩阵是计算不同维度(不同特征)间的协方差，要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。为了描述方便，我们先将三个维度的数据分别赋值：
- 1. 计算三者的两两之间的协方差：
dim1与dim2，dim1与dim3，dim2与dim3的协方差：
●sum((dim1-mean(dim1)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( size(sample,1)-1 )%
78
●sum((dim1-mean(dim1)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(sample,1)-1 )%-120.2444
●sum((dim2-mean(dim2)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(sample,1)-1 )%-126.9444 - 2. 计算对角线各个维度上的方差
std(dim1)^2 %得到：301.1556
std(dim2)^2 %得到：268.9444
std(dim3)^2 %得到：216.0111
这样，我们就得到了计算协方差矩阵所需要的所有数据 - 3. 调用Matlab自带的cov函数进行验证：
cov(sample)
结果:
跟我们计算的结果一直，说明计算结果是正确的。
最后，理解协方差矩阵
★关键就在于牢记它计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间，拿到一个样本矩阵，我们最先要明确的就是一行是一个样本还是一个维度
★意义：随机变量之间的相互关系