1925: [Sdoi2010]地精部落
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Description
传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段,每段有一个独一无二的高度 Hi,其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。 类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低,则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。
地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮 流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道,长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i,使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它 除以P的余数感兴趣。
Input
仅含一行,两个正整数 N, P。
Output
仅含一行,一个非负整数,表示你所求的答案对P取余 之后的结果。
Sample Input
4 7
Sample Output
3
HINT
对于 20%的数据,满足 N≤10;
对于 40%的数据,满足 N≤18;
对于 70%的数据,满足 N≤550;
对于 100%的数据,满足 3≤N≤4200,P≤109
Source
这个题真是神了。。。代码量和思维量是完全成反比的。。。
思路:比较复杂。首先抽象出模型,是求一个长度为n的抖动序列的方案数。令f[i][j]表示以j开头长度为i的,且开始是下降的方案数,答案就是乘2(考虑开始是上升的方案数),然后进行更深一步的思考:
<1>考虑开始的数是j-1,它的方案数就是f[i][j-1]。
<2>考虑开始的数是j,因为我们求的是开始下降,所以它的第二位一定要小于它,即j-1,但这样以j-1开始的序列就变成了上升的,所以要把它翻转过来,这样j-1就变成了(i-1)-(j-1)+1=i-j+1。
所以dp方程就是f[i][j]=f[i][j-1]+f[i][i-j+1] (1<=j<=i),初始化时f[2][2]=1。需要用到滚动数组(重复利用的原则),不然就MLE了。
Code:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; int n,p,x,f[2][5001]; int main(){ scanf("%d%d",&n,&p); f[0][2]=1; for (int i=3; i<=n+1; i++){ x=i&1; for (int j=1; j<=i; j++) f[x][j]=(f[x][j-1]+f[!x][i-j+1])%p; } printf("%d\n",(f[x][n]*2)%p); return 0; }