分治法——循环赛日程安排问题

问题描述:

设有n（2^k）位选手参加网球循环赛，循环赛共进行n-1天，每位选手要与其他n-1位选手比赛一场，且每位选手每天只能赛一场，试安排比赛。

举例说明：

1，当n为偶数时，循环赛一共要进行n-1天；比如，有运动员：周董，信哥，蔡依林，小七，一共4个人，可以如下安排：

可以看出，当四个人比赛的时候，要比3天才能全部比完。

2，当n为奇数时，循环赛要进行n天；如图，现有运动员：周董，信哥，蔡依林

，比赛安排表如下：

可以看出，当n=3时，人数为奇数，并且出现轮空现象。

综上，我们可以得出一个基本结论

算法描述：

按照分治策略，我们将n个选手先一分为二，每组n/2人，如果n为奇数，则（n+1）/2后分组，然后像我们一起的归并排序那样，一直分下去，直到最后只有两个人比赛。

举例说明，6个人比赛，需要比赛5天，安排如下：

回想我们的归并排序，归并排序是先分开，最后再合起来。这里也是。

我们先将6个人分成2组，每组3个人（[1,2,3],[4,5,6]），然后发现3是个奇数，然后在每组中+1个虚拟人：X和Y；这样，每组就变成了4个人，然后将这4个人在除以2，我们就得到了一个两两组合的小的组。

首先来看[1,2]; [3,x]

将这两组合起来：

这样，第一天的比赛排好了，然后来排第二天的比赛。

接下来第二天让1跟3比较，这样2就只能跟x比较了。

依此类推，第三天，让1跟x比较，2跟3比较：

这里要得到3个选手的比赛安排，所以，我们将假象的X去掉，并将它的位置以*代替：

然后我们也按照这个规律，安排[4,5,6]的日程，得到表格

将前3天的日程安排合并起来：

我们可以看到，第一天，3和6都空闲，可以让他们比赛；第二天，2和5都空闲，可以让他们比赛；第三天，1和4空闲，让他们相互比赛；

所以，上表重新安排，得到前3天的日程安排表：

这样，我们就比较过了[1,2,3]和[4,5,6].

然后循环下，得到:

安排三天的比赛：

选取黄色的日程安排，加入到前3天的日程安排表中：

如果n恰好等于2^k，那么，安排日程表就变得比较简单了，我们先安排两位选手，

安排4位选手：

这时候，我们先按照两个选手的，将1和2的安排填好，然后填写左下角的安排，然后将左下角的元素抄到右上角，最后将左上角的元素抄到右下角。

小结：

分治法在将大问题一步一步两两分，直到划分成可以解决的小问题时，求出这些小问题的解，然后再将小问题合成大问题的解，但是前提是这些小问题在求解是不受到其他小问题的解的影响的。