nyoj 104 最大和 （二维最大字串和）

描述

给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。
例子：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其最大子矩阵为：

9 2
-4 1
-1 8
其元素总和为15。 

输入

第一行输入一个整数n（0<n<=100）,表示有n组测试数据；
每组测试数据：
第一行有两个的整数r，c（0<r,c<=100），r、c分别代表矩阵的行和列；
随后有r行，每行有c个整数；

输出

输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。

样例输入

1
4 4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2 

样例输出

15

这个问题就是最大值子区间和的二维问题。

最大子区间和是说给你一个数组，然后让你找一个连续的子区间，让这个区间的数的和最大。很经典的简单DP。题目可以参考这个链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=44。

一维问题的解决思路是，max_sum表示从第一数到目前的最大和，sum是某段区间的和，如果sum<0，那么sum没有利用价值了，把sum=0，否则就继续往上加。

max_sum=max((sum+=a[i])<0?0:sum,max_sum);

二维的问题，其实可以转化为一位的问题。

首先我们要注意到二维子矩阵在选取的时候是个矩阵，联系一个我们经常会用到的技巧：但我们需要频繁计算一个数据任意一个区间

的和的时候，我们会预先把这个数组使用啊a[i]=a[i]+a[i-1]的方式把它记录的值变为数组到这个位置的和，这样的好处就是任意一个区间[i,j]的和就可转化为了a[i]-a[j-1]。

在这里我们依然采用这样的技巧。我们把这个矩阵记录的值对于每个列向量都做上述改变。

然后我们就发现，但我们选取任意的连续行进行组合的时候，这个行区间对于的列的值的和都可以用上述方法快速获得，那么对于每个列的和又会变为一个求一维连续区间最大和问题了。到此这个问题就可以以O(n^2)的复杂度解决了。

AC代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 using namespace std;
 5 #define N 106
 6 #define inf 1<<26
 7 int n,m;
 8 int mp[N][N];
 9 int main()
10 {
11     int t;
12     scanf("%d",&t);
13     while(t--){
14         memset(mp,0,sizeof(mp));
15         scanf("%d%d",&n,&m);
16         for(int i=1;i<=n;i++){
17            for(int j=1;j<=m;j++){
18                scanf("%d",&mp[i][j]);
19                mp[i][j]+=mp[i-1][j];
20            }
21         }
22
23         int MAX = -inf;
24         for(int i=1;i<=n;i++){
25            for(int j=i;j<=n;j++){
26               int tmp = 0;
27               for(int k=1;k<=m;k++){
28                   int cnt = mp[j][k]-mp[i-1][k];
29                   tmp+=cnt;
30                   if(tmp>MAX) MAX = tmp;
31                   if(tmp<0) tmp=0;
32               }
33            }
34         }
35         printf("%d\n",MAX);
36
37     }
38     return 0;
39 }