整数划分类型题目--专练

1.NOI 8787:数的划分（将n划分成k个数的划分法）

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描述

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5； 1，5，1； 5，1，1；

问有多少种不同的分法。 输出：一个整数，即不同的分法。

输入

两个整数n，k (6 < n <= 200，2 <= k <= 6)，中间用单个空格隔开。

输出

一个整数，即不同的分法。

样例输入

7 3

样例输出

4

提示

四种分法为：1，1，5；1，2，4；1，3，3；2，2，3。

来源

NOIP2001复赛 提高组 第二题

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
long long int f[201][10];
int n,k;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=i&&j<=k;++j)
      {
          if(j==1)
          f[i][j]=1;
          else f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
      }
    cout<<f[n][k]<<endl;
    return 0;
 } 

2. NOI7215:简单的整数划分问题（将n划分成若干个数的划分法）

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描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一个整数N(0 < N <= 50)。

输出

对于每组测试数据，输出N的划分数。

样例输入

5

样例输出

7

提示

5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 51
#include<cstring>
int f[N][N];
/*f[N][N]说明把N分为1--N份的划分的划分数目*/
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)/*注意c++中while后面加；，不会报错，但是运行时不循环*/
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
    for(int k=1;k<=n;++k)
      for(int i=1;i<=n;++i)/*DP方程说明*/
      {
          if(k==1||i==1)
          f[i][k]=1;/*把任何数分为1分或者把1分为k份都是1*/
          if(i==k)
          f[i][k]=f[i][k-1]+1;/*当i==k的时候，(a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；
              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。*/
          if(i<k)
          f[i][k]=f[i][i];/*当i<k时，只能把i分为最多i份，所以是f[i][i].*/
          if(i>k)
          f[i][k]=f[i-k][k]+f[i][k-1];/*当i>k的时候，把i份分为k份包括：包含最大数k，就是i-k时剩下的数（其中也可能包含k），所以是f[i-k][k],二：不包含k，那就是f[i][k-1]*/
      }
        printf("%d\n",f[n][n]);
    }

    return 0;
}

代码：

3.有划分次数和没有划分次数的对比

1.没有划分次数
if(k==1||i==1)
          f[i][k]=1;/*把任何数分为1分或者把1分为k份都是1*/
          if(i==k)
          f[i][k]=f[i][k-1]+1;/*当i==k的时候，(a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；
              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。*/
          if(i<k)
          f[i][k]=f[i][i];/*当i<k时，只能把i分为最多i份，所以是f[i][i].*/
          if(i>k)
          f[i][k]=f[i-k][k]+f[i][k-1];/*当i>k的时候，把i份分为k份包括：包含最大数k，就是i-k时剩下的数（其中也可能包含k），所以是f[i-k][k],二：不包含k，那就是f[i][k-1]*/
2.有划分次数
if(j==1)
f[i][j]=1;
else f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
没有划分次数的限制，主要处理好k>i,i==k的情况，还有就是
f[i][k]代表的不再是划分k次而是划分1--k次

4.将n划分成不大于m的划分法： 

　　1).若是划分多个整数可以存在相同的：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 51
int f[N][N];
/*f[i][j]含义：把i在不超过j的情况下的划分数*/
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=N;++i)
     {
          f[0][i]=0;f[i][0]=0;
     }
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=m;++j)
      {
              if(i==j)
              f[i][j]=f[i][j-1]+1;/*i==j的划分：1.把i分为超过j-1的划分数，2.把i看做一份，也就是j，所以f[0][1--m]应该是1，也就是处理一份的情况*/
              else if(i>j)
              f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j];
            else f[i][j]=f[i][i];/*当j>i的时候对于f[i][..]的划分无影响，所以不计*/ 

      }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

2).若是划分多个不同的整数：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 51
int f[N][N];
/*f[i][j]含义：把i在不超过j的情况下的划分数*/
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=N;++i)
     {
          f[0][i]=0;f[i][0]=0;
     }
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=m;++j)
      {
              if(i==j)
              f[i][j]=f[i][j-1]+1;/*i==j的划分：1.把i分为超过j-1的划分数，2.把i看做一份，也就是j，所以f[0][1--m]应该是1，也就是处理一份的情况*/
              else if(i>j)
              f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j-1];
            else f[i][j]=f[i][i];/*当j>i的时候对于f[i][..]的划分无影响，所以不计*/ 

      }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

3).总结：

            .将n划分成不大于m的划分法的做法：

              1.初始化，f[i][0]=f[0][j]=0;

               2.转移方程if i==j的时候，f[i][j]=f[i][j-1]+1

                                if i>j f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j](可重复的)  if i>j f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j-1](不可重复的)

                                if i<f f[i][j]=f[i][i];